费马大定理的初等巧妙证明_费马大定理的初等证明

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费马大定理的初等巧妙证明

李联忠

（营山中学四川营山 637700）

费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程znxnyn当n≥3时无正整数解。

证明：当n=2时，有z2x2y2

∴x2z2y2(zy)(zy)（1）

设(zy)2m2 则 zy2m2代入（1）得

x2z2y22m2(2y2m2)22m2(ym2)22m2l2

22∴x2mlyl2m2zlm

当n=3时，有z3x3y3

∴x3z3y3(zy)(z2zyy2)（2）

设(zy)32m3 则 zy32m3代入（1）得

3x3z3y332m［(y32m3)2(y32m3)yy2］

32m3(3y2332m3y34m6)33m3(y232m3y33m6)

设(y232m3y33m6)l3（3）

则x3ml（4）

zy32m3（5）

若z,y的公约数为k,即(z,y)=k，k>1时，方程x3z3y3两边可以除以k，下面分析k=1 即（z,y）=1 , 方程xzy的正整数解

因为（z,y）=1，分析（2），（3），（4），（5）式，只有m,l为正整数时，x,y,z有正整数解，由（3）得 3333

y(y32m3)l333m6(l3m2)(l23m2l32m4)

∵ y,m,l都取正整数

∴y(l3m)和y3m(l3ml3m)不能同时成立 2232224

∴ y没有形如y(l3m2)或y(l23m2l32m4)32m3的正整数解 若(l3m2)=ab ,(l23m2l32m4)=cd可得相应方程组

222yal3mycl3myacl3m或或这些方程组里的m,l没有正整232323y3mbcdy3mabdy3mbd

数解，因为若有正整数解，则与y没有形如y(l3m2)和y(l23m2l32m4)32m3的正整数解矛盾。

又 ∵ y(l3m2)在m,l取正整数的条件下，y可取到任意正整数 ∴y没有正整数解。

∴当n=3时，方程z3x3y3无正整数解。

当n>3时，同理可证方程znxnyn无正整数解。

定理得证。