费马点简洁证明_费马点证明

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費馬點(Fermat Point)

一、前言

費馬(Pierre de Fermat,1601-1665)是一位律師和法國政府的公務員，他利用閒暇的時間研究數學，他從未發表他的研究發現，但是他幾乎與同時代的所有歐洲的大數學家保持通信。曾經，費馬是歐洲所有數學研究進展之交換中心。有一天，他要回答一個收到的問題，『要找出三角形裡最小點的位置，這個最小點是指這點到三個頂點的距離總和為最短』。

「在平面上找一個點，使此點到已知三角形三個頂點的距離和為最小」，這個點就是所謂的費馬點(Fermat Point)，這個問題可以應用在，例如有三個城市，然後要蓋一個交通中心到這三個城市的距離最短這一類的問題。

二、找費馬點

在平面上一三角形ABC，試找出內部一點P，使得PAPBPC為最小。首先，讓我們先找到P點的性質，再來研究怎麼做出P點。

P點有什麼性質呢？它的位置是否有什麼特殊意義呢？在中學裡，我們學過三角形的內心、外心、重心以及垂心，P點和這些心之間有關聯嗎？還是和有些線段長、角度大小有關係呢？

APB、BPC和CPA很接近，這三個角度有何關聯？

【解法1】

1如右圖，以B點為中心，將APB旋轉60到C'BP' ○

因為旋轉60，且PBP'B，所以P'PB為一個正三角形PBP'P

因此，PAPBPCP'C'P'PPC

由此可知當C'、P'、P、C四點共線時，PAPBPCP'C'P'PPC為最小

2若C'P'P共線時，則 ○

BP'P60C'P'BAPB120

同理，若P'PC共線時，則BPP'60BPC120

所以P點為滿足APBBPCCPA120的點。

但是，該用什麼方法找出P點呢？

A'

以ABC三邊為邊，分別向外作正三角形ABC'、A'BC、AB'C

連接AA'、BB'、CC'

AA'、BB'、CC'三線共點，設交點為P，即為所求

【證明1】

(在解法1曾提到若PAPBPCP'C'P'PPC，即C'P'PC四點共線時，小值，所以P要在CC'上。)

A'

ABB'AC'C1

2則DPB~DAC'，得3460 在PC'上取點P'，使得BPBP'BPP'為正三角形

則ABPC'BP'，得APC'P'

所以PAPBPCP'C'P'PPCC'C

【證明2】 PAPBPCC'C有最

所以CPA'60 A' APBBPCCPA120，又A'BPC四點共圓(BPCBA'C180)

故APCCPA'180，因此P在AA'上 同理可證P在BB'、CC'上，故P為AA'、BB'、CC'三線交點

三、畫出費馬點

經過上面的討論，可以知道，在平面上ABC，想找出一點P，使PAPBPC為最小，方法為：分別以AB、BC為邊長做出正三角形ABC'及A'BC，連接AA'、CC'，兩線交於一點P，P點即為費馬點。

使用上述方法需要注意到一點，ABC的每一個內角均小於120，如果其中有一內角大於120，那麼P點就是ABC最大內角的頂點。