数学所有不等式放缩技巧及证明方法_放缩证明不等式方法

数学所有不等式放缩技巧及证明方法由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“放缩证明不等式方法”。

高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法

一、裂项放缩

例1.(1)求

例2.(1)求证:1(2)求证:/ 7 4kk1n221的值;(2)求证:

k1n153k2.11171(n2)22262(2n1)35(2n1)1111112 4163624n4n(3)求证: 113135135(2n1)2n11 2242462462n(4)求证：2(n11)11112(2n11)

23n

例3.求证:

例4.(2008年全国一卷)设函数6n111512

(n1)(2n1)49n3abf(x)xxlnx.数列a满足0a11.an1f(an).设b(a1，1)，整数k≥1.证

na1lnb明:ak1

b.mmmmm1m1n,mN,x1,S123nn(m1)S(n1)1.例5.已知,求证: mn

例6.已知n

例7.已知x11,x

na42nn32nTTTT,Tn,求证:1.23n2a1a2an111n(n2k1,kZ)2(n11)(nN*),求证:

4xx4xx4xxn1(n2k,kZ)23452n2n1ln2ln3ln4ln3n5n6

二、函数放缩 例8.求证：n3n(nN*).23436ln2ln3lnn2n2n1(n2)

例9.求证:(1)2,2(n1)23n 例10.求证:

例11.求证:(1

2n3(112)(123)[1n(n1)]e例12.求证:/ 7 11111ln(n1)1 23n12n111111)(1)(1)e和(1)(1)(12n)e.2!3!n!9813

例14.已知a11,an1(1

例16.(2008年福州市质检)已知函数

三、分式放缩

例19.姐妹不等式:(11)(1)(1)(111an)a.n2n证明nn2e2.f(x)xlnx.若a0,b0,证明:f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).13151)2n1和(11)(11)(11)(11)1也可以表示成为2n12462n2n112n1 135(2n1)2462n2n1和2462n135(2n1)

例20.证明:(11)(1)(1)(1

四、分类放缩 例21.求证:1

例23.(2007年泉州市高三质检)已知函数1，0].若数列{bn}满足bn14171)33n1.3n2111nn 23212f(x)x2bxc(b1,cR)，若f(x)的定义域为[－1，0]，值域也为[－f(n)*(nN)，记数列{bn}的前n项和为Tn，问是否存在正常数A，使得对于任意正3n整数n都有TnA？并证明你的结论。

例24.(2008年中学教学参考)设不等式组x0,y0,ynx3n表示的平面区域为D,设D内整数坐标点的个数为an.设

nnSn11111117n11.,当n2时,求证:an1an2a2na1a2a3a2n36

五、迭代放缩

例25.已知xn1

nxn4,x11,求证:当n2时,|xi2|221n xn1i1 3 / 7

例26.设Snsin11!sin22!sinnn!,求证:对任意的正整数222

1k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|

n

六、借助数列递推关系

例27.求证:

例28.求证:

例29.若a1

七、分类讨论

例30.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn2an(1),n1.证明：对任意的整数m4，有

n1213135135(2n1)2n21 242462462n113135135(2n1)2n11

2242462462n1,an1ann1,求证:

1112(n11)a1a2an1117 a4a5am8

八、线性规划型放缩

例31.设函数f(x)

九、均值不等式放缩 2x1.若对一切xR，3af2x2(x)b3，求ab的最大值。

n(n1)(n1)2 例32.设Sn1223n(n1).求证Sn.221，若f(1)4，且f(x)在[0，1]上的最小值为1，求证：bx1a25211f(1)f(2)f(n)nn1.22例33.已知函数f(x)

例35.求证Cn

例36.已知/ 7 13Cn2CnCnnn2(n1,nN)

n12f(x)eexx,求证:f(1)f(2)f(3)f(n)(en11)

n2 例37.已知f(x)x1,求证:x

例38.若k7,求证:Sn f(1)f(2)f(3)f(2n)2n(n1)n

11113.nn1n2nk12a2例39.已知f(x)a(xx1)(xx2),求证:f(0)f(1).例40.已知函数f(x)=x－(－1)·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,求证: [f’(x)]－21

2knn－·f’(xn)≥2n(2n－2).例41.（2007年东北三校）已知函数f(x)ax(a1)

x（1）求函数f(x)的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围；

n'nS(n)(22)f()（2）令S(n)Cf(1)Cf(2)Cf(n1)求证：

21n'2n'n1'n

例43.求证:1十、二项放缩

例44.已知a11,an1(1

n例45.设an(1)，求证：数列{an}单调递增且an1112 n1n23n111)a.证明ann2nnn2e2

1n4.例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：a

例47.设n

例49.已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条件：① 对于任意x[0,1]，总有fx3，且f14；

② 若x10,x20,x1x21,则有

nbn21n.1,nN，求证(2)n38.(n1)(n2)fx1x2fx1f(x2)3.（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求证：fx≤4；（Ⅲ）当x(11,n1](n1,2,3,)时，试证明：f(x)3x3.n33 5 / 7

222anana12a211例50.已知：a1a2an1,ai0(i1,2n)求证：

a1a2a2a3an1anana12

十二、部分放缩(尾式放缩)1114例55.求证: 3132132n117

例56.设an1

例57.设数列an满足an1111,a2.求证：an2.2a3anaan2nan1nN，当a13时证明对所有n1, 有(i)ann2；(ii)1111 1a11a21an21、添加或舍弃一些正项（或负项）例

1、已知an2n1(nN*).求证：

an1a1a2...n(nN*).23a2a3an12、先放缩再求和（或先求和再放缩）例

2、函数f（x）=4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n11(nN*).23、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

例

3、已知an=n，求证：∑ k=1

4、放大或缩小“因式”； nk

2ak

＜3．

1aa,0a,求证：例

4、已知数列{an}满足n1122n(akak1)ak2k1n1.325、逐项放大或缩小/ 7

n(n1)(n1)2an例

5、设an122334n(n1)求证： 226、固定一部分项，放缩另外的项； 例

6、求证：

7、利用基本不等式放缩

例

7、已知an5n4，证明：不等式5amnaman1对任何正整数m，n都成立.构造函数法证明不等式的方法

一、移项法构造函数

【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有1

2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)方；

3、换元法构造函数证明

【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln（4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．af(a)>bf(b)

11117 2222123n41ln(x1)x x1122xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下231111)23 都成立.nnn 7 / 7