利用半正定二次型证明条件不等式_证明二次型正定

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利用半正定二次型证明条件不等式

利用半正定二次型证明条件不等式的基本思路：首先构造二次型，然后利用二次型半正定性的定义或等价条件，判断该二次型为半正定，从而得出不等式.例：已知三角形三边为a，b，c，面积为S，证明：a2

证明：由余弦定理和面积公式将问题转化为

f(a,b)abab2abcosC23absinC2222bc43S22

2a2b2ab(cosC2a2b4absin(22223sinC)

6C)

2C)2其矩阵为A2sin(C)62sin（其一阶、二阶主子式分别为：

20，A4[1sin(2

6C)]4cos(2

6C)0，所以A半正定，从而二次型

故a2bc43S22f(a,b)半正定，即f(a,b)0成立.