sos方法证明不等式_不等式证明的新方法

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数学竞赛讲座

SOS方法证明不等式（sum of squares）

SABSabcSbcaScab0

性质一：若Sa,Sb,Sc0，则SABSabcSbcaScab0.222222性质二：若a,b,c,Sa,Sb,Sc且满足

（1）SaSb,SbSc,ScSa0，（2）若abc或abc，则Sb0, 那么SABS222

abcSbcaScab0

性质三：若a,b,c,Sa,Sb,Sc且满足

若abc或abc，则Sa,Sc0且Sa2Sb,Sc2Sb0，那么 SABSabc2S2

bcaScab20

性质四：若a,b,c，Sa,Sb,Sc且满足

若abc或abc，则S2

a,Sb0且bScc2Sb0，那么

SABS22

abcSbcaS2

cab0

性质五：若a,b,c,Sa,Sb,Sc且满足

（1）SaSb,SbSc,ScSa0，（2）SaSbSbScScSa0那么 SABS222

abcSbcaScab0

性质六：若a,b,c,Sa,Sb,Sc且满足

（1）若Sa2或abc

（2）存在0,使得若S22

aSc1Sb0；

abcbcbab

（3）scsb0或sasb0 那么

sc11b0asb0

Sa(bc)2Sb(ca)2Sc(ba)20

S=A-B=

二.常见的恒等式

(ab)2(ac)2(cb)2

(1)abcabbcac2

(2ab)(ab)2(2bc)(cb)2(2ca)(ac)2

333222(2)abcabbcac3 222(ab)(ac)(cb)(3)a3b3c33abc(abc)2

(ab)3(ac)3(cb)3

222222(4)abbccaabbcca3222

(5)a4b4c4a3bb3cc3a

(3a22abb2)(ab)2(3b22cbc2)(cb)2(3c22aca2)(ac)2

abc(6)a3bb3cc3ab3ac3ba3c3

[(ab)3(ac)3(cb)3]

1(7)a4b4c4a2b2a2c2c2b2[(ab)2(ab)2(cb)2(cb)2(ac)2(ac)2]2

三．例题

1.已知正数a,b,c，求证：（ab）(19)>=(ab)24

12.已知正数a,b,c满足min{a,b,c}max{a,b,c}4 2191(a-b)求证（ab）()>=+(ab)2416(ab)2

4.已知正数a,b,c，试求最优常数k，使 111abbcac(abc)()k29k22abcabc

5.已知正数a,b,c，试求最优常数k，使得

6．已知正数a,b,c为三角形三边，求证 bc3 b2c2ka25

abcacb（3+）2（)3 bcacba

7.已知正数x,y,z，求证:

x2y2z2xyxzyz（8.已知正数a,b,c，且abc=1，求证：

11131112(222)2 22abcabcaccabc9已知正数a,b,c且ab+bc+ac=1 求证：

1a2b25(ab)22