圆锥侧面积的几何证明和积分证明_圆锥的侧面积和全面积

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圆锥侧面积的几何证明和积分证明

一、几何证明：

二、如上图所示为一圆锥的侧面展开平面图，有L`=

22ll①

ι`=2πr=αι

s=πι2

2②

因为αι=2πr,带入中②，得s=πrι

二、积分证明：

如上图，y=kx绕x轴旋转成为圆锥，在距离原点x的地方取微量dx，设在x处圆锥底面半径为r,且有r=kx侧有圆锥底周长l=2πkx,以此处周长近似表达x处所切得的微量的面积的底边长，则其高度h=dxkdx=kdx

ds=2πkxkdx

x

2s= 2πkxkdx=πkx222222k③ 2

22因为ι=xr=kx带入③中得： 2

S=π

rι