九上数证明(二)1_九上第1章证明二

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第一章：证明

（二）§1.3线段的垂直平分线

一、考点解析

1、线段垂直平分线的性质定理及其应用；

2、线段垂直平分线的判定定理及其应用；

3、三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状之间的关系以及相关性质；

4、有关线段垂直平分线的作图问题.二、典型例题解析例

1、如图1，已知AD是△ABC的外角平分线，与BC的延长线交于点D，DE∥AC交BA的延长线于点E，DF∥AB交AC的延长线于点F，求证：AD⊥EF.证明：∵AD平分∠CAE，∴∠CAD＝∠EAD，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠CAD

∴∠ADE＝∠EAD，∴AE＝DE，∴点E在线段AD的垂直平分线上，同理可证：AF＝DF，∴点F在线段AD的垂直平分线上，E

∴直线EF垂直平分线段AD，即AD⊥EF.例

2、如图2，已知在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC＝2∠C，求

证：△ABC是直角三角形.证明：作BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，连

接BD、DE，则BD＝CD，BE＝CE＝AB，∠DEB＝90°，∴∠C＝∠DBC，∵∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝2∠C，∴∠ABD＝∠EBD，在△ABD和△EBD中，AB＝EB，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴∠BAC＝∠DEB＝90°，即△ABC是直角三角形.A图2-1-

例

3、已知A、B是平面上的两个定点，在这个平面上有多少个点C，使得△ABC是等腰直角三角形？

解：一共有6个点C使得△ABC是等

A

B

A

CC

4B

腰直角三角形.分以下两种情况讨论：（1）当AB为所求等腰直角三角形的腰时，如图3—1所示，点C1,C2,C3,C4均满足条件；

C

2C

35图3-2

（2）当AB为所求等腰直角三角形的斜边时，如图3—2所示，点C5,C6均满足条件.综合（1）、（2）可知满足条件的点C一共有6个.例

4、如图4—1，已知线段m,n和∠，求作△ABC，使得在△ABC中，∠ACB＝∠，AC＝m，AB＝n.（保留作图痕迹，标明顶点名称，写出作法）作法：如图4—2，△AB1C和△AB2C即为所求.（1）作∠DCE＝∠，（2）在射线CE上取一点A，使CA＝m，（3）以A为圆心，以线段n的长度为半径，作弧交射线CD于点B1、B2，（4）连接AB1、AB2，则△AB1C和△AB2C即为所求.思考：在△ABC中，已知∠ACB＝45°，且AC＝6，AB＝5，求BC边的长.解：如图4—3，△ABC有图中的△AB1C和△AB2C两种可能的情况：

图4-

2B

1图4-

3（1）当点B位于图中的点B1处时，过A作AD⊥CD于点D，则：

在Rt△ACD中，由∠ADC＝90°，∠ACB＝45°，AC＝6得：AD＝CD

＝ 在Rt△AB1D中，由∠AD B1＝90°，AD

＝A B1＝5得：B1D

∴B1C

＝；

（2）当点B位于图中的点B2处时，过A作AD⊥CD于点D，则：

在Rt△ACD中，由∠ADC＝90°，∠ACB＝45°，AC＝6得：AD＝CD

＝ 在Rt△AB2D中，由∠AD B2＝90°，AD

＝A B2＝5得：B2D

∴B2C

＝

综上可知，边BC的长度为

.自我测评试题

一、选择题

1、如果一个三角形三边垂直平分线的交点在这个三角形内，那么这个三角形是（）.A、锐角三角形B、直角三角形 C、钝角三角形D、以上情况都有可能

2、如图5，已知A、B是直线m外两点，在m上求作一点P，使得PA＋PB最小，其作法应该是（）.A、连接BA并延长，与直线m的交点为P； B、连接AB，作AB垂直平分线与m的交点为P； C、过点B作直线m的垂线，与m的交点即为P；

m

图

5D、过点A作直线m的垂线，垂足为O，延长AO到点A′，使OA′＝OA，在连接A′B，则A′B与直线m的交点为P；

3、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D，且△ABC和△BCD的周长分别

为60cm和38cm，则△ABC的腰长和底边长分别是（）.A、24cm和12cmB、16cm和22cmC、22cm和16cmD、20cm和16cm4、如图6，已知在△ABC中，∠ACB＝70°，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则∠BDC＝（）

A、80°B、70°C、60°D、55°

5、已知A、B、C是同一平面上的三个点，那么到这三个点的距离都相等的点（）.A、有且只有一个B、有两个

C、三个或三个以上D、有一个或没有

图6

二、填空题

6、已知在△ABC中，AB

＝AC，点P在△ABC内，且PB＝PC，则直线PA与BC所在直线的夹角的度数为（）.7、如图7，已知DE是△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE与BC边交于点E，若AC＝5，BC＝8，那么△ACE的周长为（）.8、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角为（）.9、已知在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝2，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到顶点A、B的距离分别是（）和（）.10、如图8，在△ABC中，AC＝BC，AC的垂直平分线与AC交于点E，与AB交于点D，若∠ACB＝120°，则AD：BD＝（）.图8

三、解答题

11、如图9，一辆汽车在一条笔直的公路AB上从A向B行驶，M、N表示分别位于公路AB两侧的两个村庄，汽车从A向B行驶的过程中，（保留作图痕迹，并写出作法）（1）请在图中的公路AB上作出一点C，使得点C到村庄M的距离最近；

（2）请在图中的公路AB上作出一点D，使得点D到村庄M、N的距离相等；

A

图9

N12、如图10，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于P，（1）求证：∠PAC＝∠B；（2）求证： PD2PBPC.图10

P

参考答案：

一、选择题

答案：

1、A2、D3、C4、A5、D

提示：

1、三角形三边垂直平分线的交点在三角形内时，三角形为锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形某一边上时，三角形为直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外时，三角形为钝角三角形；.2、先将点A对称到点A′，则P A′＋PB当且仅当点P为A′B与直线m的交点时最，即选项D正确.3、由D点在AB的垂直平分线上得AD＝BD，因此△BCD的周长为BC＋CD＋DB

＝BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝38；又因为△ABC的周长为AB＋BC＋CA＝60.所以，AB＝22，从而BC＝16.应选择C.4、由∠C＝70°以及AB＝AC得，∠ABC＝∠C＝70°，∠A＝40°，又由DE

垂直平分AB得：AD＝BD，∠ABD＝∠A＝40°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝80°.5、分A、B、C三点在同一条直线上和不在同一条直线上，这两种情况讨论即

可得知应选择D.二、填空题

答案：

6、90°7、138、20°或70°9、1，110、1：2 提示：

6、由AB＝AC知点A在BC的垂直平分线上，由PB＝PC知点P在BC的垂直平分线上.因此，直线PA是BC的垂直平分线，即PA⊥BC.7、DE垂直平分AB，故AE＝BE，所以△ACE的周长为AC＋CE＋AE＝AC＋CE＋BE＝AC＋BC＝5＋8＝13.8、分顶角是锐角和钝角两种情况讨论即可得解.9、点O即为这个等腰直角三角形斜边上的中点，此时OA＝OB＝OC＝1.10、连接CD，则AD＝CD，∠A＝∠B＝∠ACD＝30°，∴∠BCD＝120°－30°＝90°，在△BCD中，BD＝2CD＝2AD，即AD：BD＝1：2.三、解答题

11、（1）如图11，点C即为所求.具体作法如下：过点M作MC⊥AB于点C.（2）如图11，点D即为所求.具体作法如下：作线段MN的垂直平分线，交AB于点D，点D即为所求.12、（1）∵PE垂直平分AD，则PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA，∵∠PAD＝∠PAC＋∠DAC，∠PDA＝∠B＋∠BAD，而AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠PAC＝∠B.（2）在△PAC和△PBA中，∠PAC＝∠B，∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴PA：PB＝PC：PA.∴PA＝PB·PC，即PD＝PB·PC.