数论中埃米特恒等式证明_罗尔定理证明恒等式

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数论中埃米特恒等式证明

证明下列命题：

（1）xR,nN*，且1至x之间的整数中，有[]个是n的倍数。

（2）若pxnnnn||n!,则p(n!)[][2][3]。ppp

（3）x为实数，n为正整数，求证：（埃米特恒等式）[x][x

证明：（1）因为[]12n1][x][x][nx]。nnnxxxx[]1，即[]nx([]1)n nnnn

x故xR,nN*，且1至x之间的整数中，有[]个是n的倍数。n

（2）由于p是质数，因此n!含p的方次数p(n!)一定是1,2,3，,n1,n各数中含p的方次数的总和。由（1）知1,2,3，,n1,n中有[]个p倍数，有[xnn

pn]个p2的倍数，┈，所以2p

nnnp(n!)[][2][3] ppp

n1n1][x]时，即{x}10n{x}1 nn

12n1所以[x][x][x][x]n[x]，而[nx][n[x]n{x}]n[x][n{x}]n[x] nnn（3）不妨设x0，①当[x故等式此时成立。n1kk1][x]1时，设k0,1,2,,n2，使得，[x][x],[x][x]1，nnn

k{x}1nk1nkn则{x}nk1n{x}nk[n{x}]nk1 k1nn1{x}2n

12n1所以[x][x][x][x](k1)[x](nk1)([x]1)n[x]nk1 nnn②当[x

[nx][n[x]n{x}]n[x][n{x}]n[x]nk1 故[x][x12n1][x][x][nx]。nnn

12n1][x][x][nx]成立。nnn综合①②得，x为正实数时，n为正整数，[x][x

同理可证得x0时，结论也成立；当x0时，结论显然成立。

综合上述得，x为实数时，n为正整数，[x][x12n1][x][x][nx]成立。nnn

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