等差数列与等比数列的证明方法_如何证明等差等比数列

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等差数列与等比数列的证明方法

高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？

证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法

10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：

an1and(常数)an是等差数列

a2n2a2nd(常数)a2n是等差数列

a3n3a3nd(常数)a3n是等差数列

20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：

anan1d(n2)an是等差数列

an1ananan1(n2)an是等差数列

30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

an1q(q0且为常数，a10)an为等比数列 an

40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

anq（n>2，q为常数且≠0）an为等比数列 an

1注意事项：用定义法时常采用的两个式子anan1d和an1and有差别，前者必须加上“n≥2”，否则n1时a0无意义，等比中一样有：n≥2时，有（常数0）；②nN时，有an1． q（常数0）ananqan1

例1.设数列a1,a2,,an,中的每一项都不为0。

证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有

111n。a1a2a2a3anan1a1an1

证明：先证必要性

设{an}为等差数列，公差为d，则

当d=0时，显然命题成立 当d≠0时，∵

1111

 anan1danan1

∴

再证充分性：

∵

1n111

„„„① 

anan1a1an1a1a2a2a3a3a

411n1111

„„„② 

anan1an1an2a1an2a1a2a2a3a3a4

∴

②﹣①得：

1n1n 

an1an2a1an2a1an1

两边

anan1a1得：a1(n1)an1nan2 „„„③

同理：a1nan(n1)an1„„„④ ③—④得：2nan1n(anan2)

即：an2an1an1anan为等差数列

例2.设数列{an}的前n项和为Sn，试证{an}为等差数列的充要条件是

Sn

n(a1an),(nN*)。

2证：）若{an}为等差数列，则

a1ana2an1a3an2……，故

2Sn(a1an)(a2an2).......(ana1)

Sn(a1an)

n

（）当n≥2时，由题设，Sn1)(a1an1)n(a1an1



(2,Sn)

n2

所以a(a1a2)(n1)(a1an1)nSnSn1

n22

同理有a1)(a1an1)n(a1ann1

(n2)

从而a(n1)(a1an1)(n1)(a1an1an

2n(aan1)

1n)2

整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.例3.已知数列an是等比数列（q1），Sn是其前n项的和，Sk，S2kSk，S3kS2k，„，仍成等比数列。

证明一：

（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，Sa11qk1q2ka11q3kk

1q,S2k

a11q,S3k

1q

Sq2ka11qka1qk1qk2kSk

a111q



1q



1q 3kSa11q11q2ka1q2k1qk3kS2k

1q



a1q



1q

2kk2

S2

1q21qSa11qka1q2k1qka22k1q12kSk

a(1q)2

k(S3kS2k)1q1q

qk

(1q)2

∴S2

2kSk

=Sk(S3kS2k)

∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.则

证明二：S2k－Sk=(a1a2a3a2k)－(a1a2a3ak)=ak1ak2ak3a2k=qk(a1a2a3ak)=qkSk0 同理，S3k－S2k=a2k1a2k2a2k3a3k= q2kSk0 ∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。

二、中项法

(1).(充要条件)

若2an1anan2an是等差数列

(注：三个数a,b,c为等差数列的充要条件是:2bac)(充分条件)2an

an1an1(n2){an}是等差数列，（2）.(充要条件)

若 anan2an12(an0){an}是等比数列(充分条件)

2anan1an1（n≥1）

{an}是等比数列，注:

b(ac0)是a、b、c等比数列的充分不必要条件

b是a、b、c等比数列的必要不充分条件

.b(ac0)是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.三、通项公式与前n项和法

1.通项公式法

（1）.若数列通项an能表示成ananb（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列。(充要条件)

(2).若通项an能表示成ancqn(c，q均为不为0的常数，nN)的形式，则数列an是等比数列．(充要条件)

2.前n项和法

(1).若数列an的前n项和Sn能表示成Snan2bn(a，b为常数)的形式，则数列an是等差数列；(充要条件)

(2).若Sn能表示成SnAqnA(A，q均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列an是公比不为1的等比数列．(充要条件)

四、归纳—猜想---数学归纳证明法

先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。

这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“nk时命题成立”到“nk1时命题成立”要会过渡．

五、反证法

解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．

六、等差数列与等比数列的一些常规结论

若数列{an}是公比为q的等比数列，则

（1）数列{an}{an}（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；（2）若{bn}是公比为q的等比数列，则数列{anbn}是公比为qq的等比数列；（3）数列

11

是公比为的等比数列；

qan

（4）{an}是公比为q的等比数列；

（5）在数列{an}中，每隔k(kN)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍

为等比数列且公比为qk1；

（6）若m，n，p(m，n，pN)成等差数列时，am，an，ap成等比数列；（7）Sn，S2nSn，S3nS2n均不为零时，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列；（8）若{logban}是一个等差数列，则正项数列{an}是一个等比数列．

若数列{an}是公差为d等差数列，则

（1）{kanb}成等差数列，公差为kd（其中k0，k，b是实常数）；（2）{S(n1)kSkn}，（kN，k为常数），仍成等差数列，其公差为k2d；（3）若{an}{，bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，则{anbn}是等差数列，公差为d1d2；

（4）当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列；

（5）m，n，p(m，n，pN)成等差数列时，am，an，ap成等差数列．