二轮：等差、等比数列的计算与证明_等差和等比数列证明

二轮：等差、等比数列的计算与证明由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“等差和等比数列证明”。

第一讲 等差、等比数列的计算与证明

1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋„＋a7＝()A．14B．21C．28D．3

57a1＋a7解析：由等差数列性质得a3＋a4＋a5＝3a4，由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋„＋a7＝7a4＝28.答案：C

22．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()

A．6B．7C．8D．9

a5－a1－3＋11解析：∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，则a5＝－3，d＝＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，45－

1所有的非正项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n ＝6时，Sn取最小．故选A.答案：A

3．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是A．T10B．T13C．T17D．T25

＋＋解析：a3a6a18＝a1 3q2517＝(a1q8)3＝a9 3，即a9为定值，所以与a1下标和为18的项积为定值，可知T17为定值．答案：C

4．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()

A．80B．26C．30D．16

3n1－q4nS3n141－qn解析：q＝2.∴S4n＝Sn30.故选C.答案：C Sn21－q1－q5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()

15313317A.C.D.2442

1142解析：an>0，a2a4＝a21q＝1①S3＝a1＋a1q＋a1q＝7②解得a1＝4，q或－(舍去)，2

31－14×53231a11－qS5＝＝＝，故选B.答案：B 141－q1－2

6．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.a11－q3－－解析：∵{an}是等比数列，q＝4，S3＝＝21，∴a1＝1，∴an＝4n1答案：4n1 1－q

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.5×43×211解析：由题意知65a1＋－53a1＋d＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5，故a4＝3.答案：3 22

8．数列{an}满足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝anan＋1，则数列{bn}的前10项和S10＝________.1111111解析：由题可知an＋1＝an(1－an＋1)，整理可得1，则＝1＋(n－1)＝n，所以an＝，bn＝anan＋1－annan＋1annn＋1nn＋1

11010故S10＝b1＋b2＋„＋b10＝1－.答案： 111111

nn＝1，2，3，4，5，6*9．已知数列{an}(n∈N)满足：an＝则a2 007＝________.*－an－6n≥7，且n∈N

解析：由an＝－an－6(n≥7，且n∈N*)知an＋12＝－an＋6＝an，从而知当n≥7时有an＋12＝an，于是a2 007＝a167×12＋3＝a3＝3.答案：3

10．如图给出了一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式．

解：(1)该等差数阵的第1列是首项为4，公差为3的等差数列，a41＝4＋3×(4－1)＝13，第2列是首项为7，公差为5的等差数列，a42＝7＋5×(4－1)＝22.∵a41＝13，a42＝22，∴第4行是首项为13，公差为9的等差数列． ∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.(2)∵a1j＝4＋3(j－1)，a2j＝7＋5(j－1)，∴第j列是首项为4＋3(j－1)，公差为2j＋1的等差数列．

∴aij＝4＋3(j－1)＋(2j＋1)·(i－1)＝i(2j＋1)＋j.11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋2.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

S(2)设bn＝n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． n

a1＝2＋1，(1)解：由已知得∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)． 3a1＋3d＝9＋2，Sn(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋2.n

2假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则bq＝bpbr，即(q2)2＝(p＋2)(r2)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.∵p，q，r∈N*，2q－pr＝0，p＋r2∴∴＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r.这与p≠r相矛盾 22q－p－r＝0，

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

an＋1212．已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和Sn＝ 4

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}的首项为b，公比为2，前n项的和为Tn.若对任意n∈N*，Sn≤Tn均成立，求实数b的取值范围．

a1＋12an＋12－an－1＋12解：(1)由a1＝a1＝1.当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，44

得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.又因为an>0，所以an－an－1＝2.因此{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即an＝2n－1(n∈N*)．

n12－12n*(2)因为Sn＝n，Tn＝b(2－1)，所以Sn≤Tn对任意n∈N恒成立，当且仅当n∈N*均成立． bnnn＋1n2n2－12－12－1n－2n－1·2＋2n＋1令CnCn＋1－Cn＝，所以C1>C2，且当n≥2时，Cn