高中数学推理与证明测试题_高中数学推理与证明
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高中数学推理与证明测试题
山东淄博五中孙爱梅
一 选择题（5×12=60分）
1.如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什
么颜色的（）
A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大
2．“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故某奇数（S）
是3的倍数（P）.”上述推理是（）
A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错
3．F（n）是一个关于自然数n的命题，若F（k）（k∈N＋）真，则F（k＋1）真，现已知F
（7）不真，则有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不
真；⑥F（5）真.其中真命题是（）
A．③⑤B．①②C．④⑥D．③④
4.下面叙述正确的是（）
A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法、分析法是间接证法
C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）
① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。
A．①B．①②C．①②③D．③
6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对x∈R，有ax
2＋bx＋c＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．不充分不必要条件
17．（04·全国Ⅳ，理12）设f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f2
（2），f（5）＝（）
5A．0B．1C．D．5 2
111118．设S（n）＝ ＋ ＋ ＋＋„＋，则（）nn＋1n＋2n＋3n11A．S（n）共有n项，当n＝2时，S（2＋
311
1B．S（n）共有n＋1项，当n＝2时，S（2）＝＋ ＋
234111
C．S（n）共有n2－n项，当n＝2时，S（2 ＋＋
234111
D．S（n）共有n2－n＋1项，当n＝2时，S（2 ＋＋
4x
9．在R上定义运算⊙：x⊙y＝，若关于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集
2－y是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，则实数a的取值范围是（）A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2
10．已知f（x）为偶函数，且f（2＋x）＝f（2－x），当－2≤x≤0时，f（x）＝2，若n∈N，an＝f（n），则a2006＝（）
A．2006B．4C．D．－4
11．函数f（x）在［－1，1］上满足f（－x）＝－f（x）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B． f（cosα）＞f（sinβ）C．f（cosα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）
12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁
二 填空题（4×4=16分）13．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给1131
5出一组数：,-，-，它的第8个数可以是。
228
43214．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC边上的射影，则AB2=BDBC.拓展到空间,在四面体A—BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为。
15．（05·天津）在数列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，S10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.16．（05黄冈市一模题）当a0，a1，a2成等差数时，有a0－2a1＋a2＝0，当a0，a1，a2，a3成等差数列时，有a0－3a1＋3a2－a3＝0，当a0，a1，a2，a3，a4成等差数列时，有a0－4a
1012
＋6a2－4a3＋a4＝0，由此归纳：当a0，a1，a2，„，an成等差数列时有Cna0－Cna1＋Cna2－„＋Cnnan＝0.如果a0，a1，a2，„，an成等差数列，类比上述方法归纳出的等式为＿＿＿。三 解答题（74分）已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，求证：18．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2x＋
*
x
.11
3+=（12分）a+bb+ca+b+c
πππ
b＝y2－2y＋c＝z2－2z＋，求证：a、b、236
c中至少有一个大于0.（12分）
19．数列｛an｝的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1n＋
2n（n＝1，2，3，„）.n
Sn
证明：⑴数列｛Sn＋1＝4an.（12分）
n
20．用分析法证明：若a＞0，则
a22≥a＋－2.(12分)
aa
121．设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生概率为P′，则由A产生B的概率为P·P′.根据这一事实解答下题.一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、„、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P0＝1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第到第n站时的概率为Pn.（1）求P1，P2，P3；
（2）设an=Pn－Pn－1（1≤n≤100），求证：数列｛an｝是等比数列(12分)
ACAE22．(14分)在ΔABC中（如图1），若CE是∠ACB ＝.其证明过程：
BCBE作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F
∵CE是∠ACB的平分线，∴EG＝EH.又∵
ACAC·EGSΔAEC
＝，BCBC·EHSΔBEC
AEAE·CFSΔAEC＝＝，BEBE·CFSΔBEC∴
ACAE＝.BCBE
（Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A－BCD中（如图2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是＿＿＿＿＿＿
（Ⅱ）证明你所得到的结论.B HC
图
1A
A G
B
图
2h11C
答案：
一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D ９Ｃ１０Ｃ １１Ｂ １２ C
πππ分析：因为锐角三角形，所以α+β＞，所以0＜-α＜β＜，222
π
sin（-α）＜sinβ，0＜cosα＜sinβ＜1，函数f（x）在［－1，1］上满足是减函数
所以f（cosα）＞f（sinβ）。12分析：先猜测甲、乙对，则丙丁错，甲、乙可看出乙获奖则丁不错，所以丙丁中必有一个是对的，设丙对，则甲对，乙错，丁错.∴答案为C.1.二 13-14（S△ABC）2= S△BOC S△BDC15.3
3216a
00n
C
·a
1－C
1n
·a2 n·„·an（－1）nn＝1.2C
C
n
［解析］解此题的关键是对类比的理解.通过对所给等差数列性质的理解，类比去探求等比数列相应的性质.实际上，等差数列与等比数列类比的裨是运算级别的类比，即等差数列中的“加、减、乘、除”与等比数列中的“乘、除、乘方、开方”相对应.三 解答题
317(分析法)要证+=
a+bb+ca+b+c
a+b+ca+b+c需证:+ =3
a+bb+c
即证:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)即证:c2+a2=ac+b
2因为△ABC中，角A、B、C成等差数列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB 即b= c+a-ca 所以c+a=ac+b
3因此 + =
a+bb+ca+b+c(反证法).证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ
而a＋b＋c＝（x2－2y）＋（y2－2z＋z2－2x＋
236
＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.19(综合法)．证明：⑴由an＋1
2222222
n＋2
n，而an＋1＝Sn＋1－Sn得 n
Sn＋
1n＋12（n＋1）n＋1Sn∴Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1Sn＝2，∴数列｛｝为等比数列.nnSnn
n
SnSn＋1Sn－14an（n－1）⑵由⑴知｛2，∴＝4·，∴Sn＋1＝4an.nn＋1n－1n－1n＋120(分析法).证明：要证
a2＋2－≥a＋2，只需证
aa
a22＋2≥a＋aa
∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（a2＋22）2≥（a＋）2，aa
只需证a2＋24＋
4a
a2＋2≥a2＋22＋2（a＋，aaa
a2＋2≥（a＋，只需证a2＋2≥（a2＋2＋2），a2aa2aa
即证a2＋2≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.111131131
521.（1）解:P0＝1，∴P1＝, P2× ＋＝，P3＝ ×＋× ＝.2222422428
（2）证明:棋子跳到第n站，必是从第n－1站或第n－2站跳来的（2≤n≤100），所以Pn
Pn－1Pn－2
∴Pn－Pn－1＝－Pn－1＋Pn－1 Pn－2=（Pn－1－Pn－2），22211
∴an=－an－1（2≤n≤100），且an＝P1－P0.22
故｛an｝是公比为－，首项为－的等比数列（1≤n≤100）.2222．结论:
SΔACDSΔAECSΔACDSΔAEDAESΔACD＝ 或 ＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED
证明：设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1，h2，则由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.又∵
SΔACDh1SΔACDVA－CDE
＝ SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE
VA－CDEAESΔAEDVC－AED ＝ ＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDESΔACDAE∴ ＝SΔBCDBE
A G
B
C
2图2 A hB HC
图1
