数列等差证明江西理数_等差中项证明等差数列

数列等差证明江西理数由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“等差中项证明等差数列”。

数列等差证明2010江西理数

2010江西理数）22.（本小题满分14分）

证明以下命题：

（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b

（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an，bn，cn

成等差数列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

（1）考虑到结构要证ac2b，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值1,5,7满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当an，bn，cn成等差数列，则bnancnbn，分解得：(bnan)(bnan)(cnbn)(cnbn)

选取关于n的一个多项式，4n(n1)做两种途径的分解 ***22222

4n(n21)(2n2)(2n22n)(2n22n)(2n2)4n(n21)

ann22n1对比目标式，构造bnn21(n4)，由第一问结论得，等差数列成立，cn22n1n

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例m22m1m21m22m1，n22n1n21n22n1

由比例的性质得：

m1m1mn，与约定不同的值矛盾，故互不相似。n1n1