文数高考母题题源系列 07利用导数探求参数取值范围、证明不等式 Word版含解析]_导数解决不等式证明

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【母题来源】2014高考陕西卷文－21 【母题原题】设函数f(x)lnxm,mR.x（1）当me（e为自然对数的底数）时，求（2）讨论函数g(x)f(x)的最小值；

xf'(x)零点的个数；

3f(b)f(a)1恒成立，求m的取值范围.（3）若对任意ba0,ba

【命题意图】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、含参数的不等式恒成立问题等基础知识，意在考查学生运用转化与划归思想，分析问题解决问题的能力，运算求解能力． 【方法技巧】函数f(x)在区间I上单调递增等价于f¢(x)³0在区间I上恒成立；函数f(x)在区间I上单调递减等价于f¢(x)£0在区间I上恒成立．但要注意取等号时，是否为常函数．

利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意xÎ[a,b]都有f(x)³g(x)，可设h(x)=f(x)-g(x)只要利用导数说明h(x)在[a,b]上的最小值为0即可．解题技巧总结如下：

（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式；

（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明．例如采用两边取对数（指数），移项通分等等．要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式；（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决．在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”．

解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．从集合观点看，含参不等式fxkfxk在区间D上恒成立DxfxkfxmaxkDxfxkfxmink，而含参不等式fxkfxk在区间D上能成立至少存在一个实数x使不等式fxkDfxk成立

xn．xmDifxmafk【2014高考湖南卷文第9题】若0x1x21，则（）

x

xA.e2e1lnx2lnx1 C.x2e1x1e2 xx

B.e2e1lnx2lnx1

xxxx

D.x2e1x1e2

2.【2014高考辽宁卷文第12题】当x[2,1]时，不等式axx4x30恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．[5,3]

B．[6,]

C．[6,2]

D．[4,3]

3298

323.【2014高考全国1卷文第12题】已知函数f(x)ax3x1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）

2,（B）1,（C）,2（D）,1

4.【2014高考全国2卷文第11题】若函数fxkxInx在区间1,单调递增，则k的取值范围是（）

（A）,2

（B）,1

（C）2,

（D）1,

xa,x0,5.【2014高考上海卷文第9题】设f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的1x,x0,x取值范围是

.6.【2014高考安徽卷文第20题】设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0（1）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

（2）当x[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.7.【2014高考大纲卷文第21题】函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.8.【2014高考广东卷文第21题】已知函数fx（1）求函数fx的单调区间；

（2）当a0时，试讨论是否存在x00,13xx2ax1aR.3111，使得,1fxf0.222

9.【2014高考湖北卷文第21题】为圆周率，e2.71828为自然对数的底数.（1）求函数f(x)lnx的单调区间； x3（2）求e3，3e，e，e，3，这6个数中的最大数与最小数；

（3）将e3，3e，e，e，3，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.10.【2014高考湖南卷文第21题】已知函数（1）求

f(x)xcosxsinx1(x0).f(x)的单调区间；

（2）记xi为f(x)的从小到大的第i(iN*)个零点，证明：对一切nN*，有12.xn2311x12x22

11.【2014高考江苏第19题】已知函数f(x)ee

xx，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f(x)是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf(x)exm1在(0,)上恒成立，求实数m的取值范围；

3（3）已知正数a满足：存在x0(1,)，使得f(x0)a(x0试比较e3x0)成立，a1与ae1的大小，并证明你的结论.12.【2014高考江西文第18题】 已知函数f(x)(4x24axa2)x，其中a0.（1）当a4时，求f(x)的单调递增区间;（2）若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值.2【答案】（1）(0,)和(2,)，（2）10.5【解析】

13.【2014高考辽宁文第21题】已知函数f(x)(xcosx)2sinx2，g(x)(x)1sinx2x1.证明：

1sinx（Ⅰ）存在唯一x0(0,（Ⅱ）存在唯一x1(2)，使f(x0)0；

2,)，使g(x1)0，且对（1）中的x0x1.14.【2014高考四川文第21题】已知函数f(x)eaxbx1，其中a,bR，x2e2.71828为自然对数的底数．

（Ⅰ）设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e2a1.15.【2014高考天津文第19题】已知函数f(x)x（1）求f(x)的单调区间和极值；

223ax(a0),xR 3（2）若对于任意的x1(2,)，都存在x2(1,)，使得f(x1)f(x2)1，求a的取值范围

16.【2014高考浙江文第21题】已知函数小值记为g(a).（1）求g(a)；

fxx33|xa|(a0)，若f(x)在[1,1]上的最（2）证明：当x[1,1]时，恒有f(x)g(a)4.综上所述，当x[1,1]时恒有f(x)g(a)4.

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