六、经济应用问题(证明题)_六年级经济问题应用题

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一、．求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：

（2）.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为，单位销C(q)204q0.01q2（元），问产量为p140.01q（元/件）

（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C(q)

试求产量2q40(万元/百台)．

C(q)1000.25q26q（万元）,售价格为

求：①当q本；

②当产量q为多少时，平均成本最小？

答案：①∵ 平均成本函数为：

答案：（2）解：由

由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．

解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

答案：①产量由4百台增至6百台时总成本的增量

10时的总成本、平均成本和边际成多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．

p140.01q

入

函

数

得收

为

C(q)100

C(q)0.25q6（万

qq

元/单位）

边际成本为：C(q)

R(q)pq14q0.01q

2得

利

润

函

数

：

2CC(x)dx(2x40)dx(x2

466

0.5q6

L(q)R(q)C(q)10q0.02q20②

令

(万元)

成本函数为：

L(q)100.04q0

q250唯一驻点

∴当q分别为：

10时的总成本、平均成本和边际成本

解得：

C(x)C(x)dx(2x40)dxx2

又固定成本为36万元，所以

C(x)x240x36(万元)

所以，当产量为250件时，利润最大，2C(10)1000.2510610185(元)最

平均成本函数为：

大

利

润

：

C(x)

0.2510618.510

L(250)102500.02250220台1230)

(元)

C(x)36

x40xx

(万元/百

C(10)

求平均成本函数的导数得：

（万元/单位）

C(10)0.510611（万元/单位）

②由平均成本函数求导得：

36

C(x)1

2x

令C(x)0

得驻点

x16，C(q)

令C(q)



0.25 2q

x26（舍去）

由实际问题可知，当产量为6百台时，可使平均成本达到最低。



0得唯一驻点q120（个），q120（舍去）

由实际问题可知，当产量q为20个时，平均成本最小。

二、证明题

1．试证：若

4．设

都与

A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，T

1

B1,B2

A

可交换，则

且B

B，证明BAB是对称矩阵。

T1

BT 证明：∵ AA，B

∴

1

3．设

A,B均为n阶对称矩阵，则AB

ABBA。

对称的充分必要条件是：证明：充分性

B1B2，B1B2也与A可交换。

证明：∵∴

T111T11

ABAABB∵ ，B)，(AB(B1AB)TBTAT(B1)TB1A(BT)(BAB)TAB

AB1B1A，AB2B2A

即

B1AB是对称矩阵。

都与

证明题

∴

AB(AB)TBTATBA

必要性

1．试若A(B1B2)AB1AB2B1AB2A(B：B2)AB1,B21证

A

可交换，则

∵

ATA，BTB，B1B2，B1B2也与A可交换。

ABBA

∴

A(B1B2)AB1B2B1AB2B1B2A证明：∵(B1B2)AAB1B1A，AB2B2A

即

∴

(AB)T(BA)TATBTAB

即

AB

为对称矩阵。

B1B2，B1B2也与A可交换。

A，2．试证：对于任意方阵

AAT，4．设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，A(B1B2)AB1AB2B1AB2A(BB2T)A11

B，证明B1AB是对称矩阵。且B

T1 BT 证明：∵ AA，B

∴

AAT,ATA是对称矩阵。

证

TT

明

T

：

TT

T

∵

1

A(B1B2)AB1B2B1AB2B1B2A(B1BAB)TBTAT(B1)TB1A(BT)12)A

T

(AA)A(A)AAAA

即B1B2，B1B2也与A可交换。

2．试证：对于任意方阵

即解答题，1．求解下列可分离变量的微分方程：(1)

B1AB是对称矩阵。

A，AAT

(AAT)T(AT)T(A)TAAT(AA)(A)(A)AA

∴

T

T

T

TT

T

AAT,ATA是对称矩阵。

证

明

：

∵

yexy

dy

exy dx

答案：原方程变形为：

(AAT)TAT(AT)TATAAAT

AAT，AAT,ATA是对称矩阵。

分离变量得：e两

边

y

dyexdx

分

得

：

3．设

A,B均为n阶对称矩阵，则AB

ABBA。，对称的积

充分必要条件是：证明：充分性∵

(AAT)T(AT)T(A)TAAT

T

eyd(y)exdx

原方程的通解为：e

y

AA

T

BB

(ATA)T(A)T(AT)TATA，∴

exC

(AB)TAB

∴

AAT，AAT,ATA是对称矩阵。

dyxex

（2）

dx3y2

AB(AB)TBTATBA

必要性

答案：分离变量得：3y

dyxexdx

∵ ∴

ATA，BTB，ABBA

两边积分得：

(AB)T(BA)TATBTAB

即

2x3ydyxedx

AB

原方程的通解为：

为对称矩阵。

y3xexexC

2.求解下列一阶线性微分方程：

y(x1)3（1）y

x1

答案：原方程的通解为：

(2)

xyyex0,y(1)0

x

（4）=

12xdx

答案：原式

1ey

1d(12x)1xx2222ln12xcdxd(x1)x1dxx1d(x1)33x1x1

12x2ye(e(x1)dxC)原e方程(的e通解(x1：)dxC2)为

答案：原方程变形为：

y

x

1eelnxlnxye(edxC)e(edx(exdxC)

（5x）xx2xdx答案：原

dxx



1dxx

x

式

elnx(1)2(elnx(1)2(x1)3dxC)(x 1)2((x1)2(x1)3dxC)

1

x

(exC)

(x1)2((x1)dxC)(x1)2(12

将x2

xx1，Cy)0代入上式得：Ce1(ex

e)（2）y

y则原方程的特解为：y

x

2xsin2x x解答题 答案：原方程的通解为： 1.计算下列不定积分

ye1dx(e1dx2xsin2xdxC)ex（(1e）3x

x2xsinex2dxxdx原式C)

=(3x

e)dx

3.求解下列微分方程的初值问题：(3)x

=(1)

ye2xyc3x,y(0)0

ln3ex(ln31)ce

答案：原方程变形为：

dy

e2xydx

2）分离变量得：e

y

dye2xdx



(1x)2（x

dx答案：原式

dye2xdx3两边积分得：

e

y

1=

(x

2xx2)dx

原方程的通解为：ey



115

e2x

C=2x2

43x22

x235

c

将

x0，y0

代入上式得：

C1

（3）

x4x2dx

答案：原式

则原方程的特解为：ey



12e2x12

= (x2)dx12

x2

2xc

=

2x2d(2x2)3

=13

(2x2)2

c（6）



sinxx

dx

答案：原式

=

2sinxdx2cosxc

（7）

xsin

x

dx答案：∵

(+)xsinx

(-)12(+)0

4sin

x2

∴原式=

2xcosx24sinx

c

（8）

ln(x1)dx

答案：∵(+)

ln(x1)1

(-)1

x1

x

∴ 原式=

xln(x1)

x

x1

dx

=xln(x1)(11

x1)dx

=

xln(x1)xln(x1)c

2.计算下列定积分 2（1）

1

xx

答

案

：

原式1

=

1(1x)dx1(x1)dx

=

2(12x2x)2

591222

1（2）



ex

x

2x 答

案

：

原

式

x

1=



e2

1x21

x2

(x)dx

=e1

ee

e3

（3）



xlnx

x

答

案

：

原

式



e3

=

x

xlnxd(1lnx)

=

2lnx

e312



解答题

（4）



xcos2xdx

1．计算极限

答案：∵(+)

x

（1）limx23x21

x11

x22

原式lim

(x1)(x2)

x1(x1)(x1)(+)0

lim

x24

x1x1∴

原

式



=(1xsin2x1

cos2x)224

0 x2（2）lim

5x61

x2x26x82

=14141

原式=

lim

(x-2)(x-3)

x2(x-2)(x-4)

（5）



e

xlnxdx

x3答案：∵(+)

lnxx

lim

x2x4

x2

(-)1

x

12

∴ 原式=

121ex12xlnxe

12

1xdx（3）lim

x0

x1

=e2214x2e12

(e1)

原式=lim

(x1)(x1)

x0

x(x1)

（6）



(1xex)dx

=

lim

1

x0

x1

答案：∵原式=

4x0xedx

又∵(+)

xe

x

=



(-)1-

ex x2ex（4）lim

3x51

(+)0

x3x22x43

∴



1

xexdx(xexex)40

原式=

2

=13

3=

5e41

xx

故：原式=

55e

4

（5）lim

sin3x3



x0sin5x5

（2）

y

axb

cxd，求

y

：

（7）

ycosxex

答

案，求dy ：

sin3x3原式=lim

5x0sin5x

答案∵= 5

a(cxd)c(axb)adbcsinx(x)ex(x2)y2

(cxd)(cxd)2

5x

（6）limx24）

y

1，求

x2sin(x2)

4

（33x5

y

3原式=limx2

x2sin(x2)

答案：y32

(3x5)

x2（4）

limyxxex，求y

2

(x2)

=

x= 4

答

案

：

lim

x2x2

y

1xxex)

=

．

设

函

数

2x

(e

xsin1b,x01f(x)

xa,x0，2x

exxex

sinx



xx0（5）

yeax

sinbx，求dy

问：（1）当a,b为何值时，f(x)案

∵

在x0答：

处

y(eax)(sinbxeax

(sinbx)有极限存在？

aeax

sinbxbeax

cosbx

（2）当a,b为何值时，f

(x)在x0处连续.eax(sinbxbcosbx)

解：

∴

(1)

ax

xlim0

f(x)b,xlim0

f(x)1

dye(asinbxbcosbx)dx

当

ab1时，有

limf(x)f(0)（6）

yex

xx，求dy

x0

1

y11答案：∵x

3(2).x2e2

x

当

ab1时，有

limx0

f(x)f(0)1

∴dy(311

2xx

2ex)dx

函数f(x)在x=0处连续.3．计算下列函数的导数或微分：log（1）y

x22x2x22，求y

答案：

y2x2xln2

xln2

sinx

2xex2

=

2x

∴

dy(

sinx

2xex2

2x)dx

（8）

ysinnxsinnx，求y

答

案

：

ynsinn1xcosxncosnx

（9）

yln(xx2)，求y

答

案

：

y

1xx2

(xx2)

=

xxx

(1x)

=

xx



xxx

=

1x

（10）

y2

cot

x



1x22x

x，求

y

答案

：

y2cos1

x

ln2(cos1)(x1

12x6x



1cos111x22xln2sinx2x3

6

4.下列各方程中

y

是

x的隐函数，试求y或

dy(1)方程两边对x求导：

2x2yyyxy30

(2yx)yy2x3

所以

dy

y2x3

dx

2yx

(2)方程两边对x求导：

cos(xy)(1y)exy(yxy)4

[cos(xy)xexy]y4cos(xy)yexy

所

以

4cos(xy)yexy

y

cos(xy)xexy

5．求下列函数的二阶导数：（1）

yln(1x2)，求y

答案：(1)

y

2x1x2

2(1x2)2x2x22x2

y

(1x2)2(1x2)2

(2)

12

1131

x)x2x2

221

y(x

3351

x2x2y44

y(1)

1 44