利用定积分证明数列和型不等式_利用定积分证明不等式

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利用定积分证明数列和型不等式

我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数，求证

.分析

这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明 构造函数数图象可知，在区间

并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函

上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图1 即，因为，所以.所以

.例2 求证

.证明 构造函数

而函数在，又，上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

2即，所以.例3 证明。

证明 构造函数可知，在区间 上，因，又其函数是凹函数，由图

3个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图3

即

.所以

.二、型

例4 若，求证:.证明 不等式链的左边是通项为前项之和，中间的的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当的数列的时这三个数

可当作是某数列的前列的通项不等式

成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，故不等式

成立，从而所证不等式成立.图4

例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数处的切线方程为

（Ⅰ）用表示出 ；

.的图象在点（Ⅱ）若 在内恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明（Ⅲ）不等式数列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为的数列的前项之和，则当的时，此式适合，故只要证当 时，即，也就是要证

.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即

.图

5而，所以，故原不等式成立.点评 本解法另辟蹊径，挖掘新的待证不等式左右两边的几何意义，通过构造函数利用定积分的几何意义来解决问题，解法虽然综合性强，但由于数形结合解法直观便于操作.积分法是在新课标下证明不等式的一个新方法新亮点，很值得品味.由例4例5可知，要解决这类复杂问题的关键是要善于联想善于分析问题和转化问题，这样才能化繁为简、化难为易，

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