导数在函数及不等关系证明中的应用_函数与导数不等式证明

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导数在函数及不等关系证明中的应用

摘 要：导数是研究函数形态，证明不等式和解决一些实际问题的有力工具，尤其是导数与数列的计算和与不等式的证明等知识进行综合。而数列又是特殊函数，于是本文将巧用函数的单调性来构造函数证明不等关系，来体现导数在证明不等关系中的作用。关键词：导数；不等式；函数

在证明不等式的过程中，常用方法很多，可以利用函数的单调性，函数的最值以及函数的凹凸性等来解答，但常因方法不当，使得运算量大，直接影响解题速度与结果的正确．所以本文探讨的是巧用导函数的单调性来证明不等式的方法．巧用构造函数这一创造性思维来有效合理的使不等式获得证明，从而体现出初等数学与高等数学的紧密联系．下面我们对导数在不等式及函数

证明中的应用，利用导函数的单调性来举例加以说明．

一、利用导函数单调性证明不等式[6]

抓住结构特征,合理变形,采用构造函数法利用函数的单调性,穿插与渗透导数应用时采用这种方法,从而达到证明不等式的目的．

例1．证明：a1a21a1a2a11a1a21a2．

证明：首先构造函数f(x)1xx0．，再对函数f(x)求导得f'(x)

1x1x(1x)2易知f(x)在(0,)上是单调递增函数． 设x1a1a2,x2a1a2．显然x1x2，因此有 fx1fx2 即 a1a21a1a2a1a21a1a2a1a21a1a2a1a21a1a2a11a1a2a11a1．

a21a1a2而 a11a1a21a2．

所以得到： a21a2．

从上面这个例子我们可以进一步地推广到更一般性情况即 a1a2an1a1a2ana11a1a21a2an1an.本题巧妙的抓住了题目的结构特征，合理的利用了导数与函数的性质使题目得到了很好的解决，方法简单，让人一目了然，也给解题带来了不少的方便。

下面再看这样的一道例题，它是一道关于指数与对数的不等式问题，初看题目，结构特殊叫人无从下手，但是通过巧妙的换底，然后再利用导数的性质，使题目变的简单明了。

例2．已知a,b为实数，并且eab，其中e是自然对数的底． 证明：abba．

证明：当eab时，要证abba．

只须证明 blnaalnb． 即证

lnx(xe)． x1lnx求导得 y'．

x2lnalnb． ab构造函数 y因为当xe时，lnx1，所以y'0 所以函数y因为eab 所以

lnx在(e,)上是减函数． xlnalnb．

所以得到 abba 成立.ab例3．已知函数g(x)xlnx,设0ab,证明:

ab0g(a)gb2g(ba)ln2．

2证明: 先证左边,设F(x)gagx2g(axax则F'(x)g'(x)[2g． ]'lnxln22ax)． 2令F'(x)0 得xa.则当0xa时,F'(x)0． 故F(x)在0,a内为单调递减函数． 当xa时,F'(x)0． 故F(x)在a,内为单调递增函数． 从而当xa时, F(x)有极小值F(a)0． 因为ba0 所以 FbFa．

ab即

0g(a)gb2g．

2ax再证右边,设G(x)g(a)g(x)2g(xa)ln2．

2则

G'(x)lnxln则当x0时, G'x0． 因此G(x)在a,内为减函数．

axln2lnxlna(x)． 2又因为0ab．所以GbGa0．

ab即

g(a)gb2g(ba)ln2．

2综上所述得原不等式成立．

以上两道题都是应用导数解决不等式证明问题，其中的导数起一个工具的作用，尽而让复杂的不等式证明题变的结构简单，思路明了，这就大大的缩小了解题步骤，简化了解题过程，节约了解题时间，而且使准确率有很大的提高。

二、利用导函数的单调性结合极值证明不等式[6]

用导数知识去求函数的最值与不等式,体现出函数与不等式的交汇,利用不等式的结构特征．可将问题转化为定义域上的最值问题,所以当一个函数的单调性已知时,函数的最大(小)值也就“水到渠成”了下面就对此方法进行举例说明．

例1．已知a,b为正数,且ab1．求证:证明:令ax则b1x,从而0x1． 我们设

f(x)11． 33x11x13111633 ． 2a1b193x23(1x)2则

f'(x)3． 232(x1)[(1x)1]再求f'(x)的零点并讨论f'(x)的符号显然等价于求

g(x)

x1x． 33x1(1x)13

x[(1x)31](1x)(x31)． 33（x1）（[1x）1]的零点及符号的变化．

1时, g(x)0． 21因而 f'(x)0且当0x时, g(x)0．

2显然 当x故 f'(x)0．f(x)为单调递增函数． 当 1x1时, g(x)0． 2故 f'(x)0．f(x)为单调递减函数． 所以函数f(x)在x116处取得最大值． 29在x0或x1处取得最小值．． 2316所以 f(x) ．

29又 f(0)f(1)例2．函数f(x)exln(x1)1(x0)，求函数f(x)的最小值．[7] 解：(1)f'(x)ex11．当x0时,因为ex1,且1． 1x1x所以有f'(x)0．说明函数f(x)在区间0,上是增函数． 故当x0时,函数f(x)取得最小值为0．

以上例题是利用导数求函数的极值和最值问题，充分的体现了导数工具在解决函数问题时的优越性及它和函数与不等式的交融性，让导数的优越性得到了更充分的发挥，为我们的解题带来了不少的方便，简单的方法也让我们体验到了数学的乐趣。

三、利用函数单调性进行数列计算

导数为解不等式注入了新的活力,更是利用函数单调性来解答不等式问题的有利工具,而数列作为特殊函数,于是我们利用导数求解数列就是利用导数求解函数,准确的把握关系,进行有机地整合,来完成这一类问题．这一类型题的关键是利用函数的单调性进行数列计算，而我们知道衡量函数单调性的重要工具便是导数，这样通过函数的单调性把数列计算和导数很好的联系在了一起，起到了秒笔生辉的作用。为了更好的抓握这种方法，我们来看下面的例题。

例1．已知数列{an}的通项为ann2(10n)(nN),求数列最大项． 证明：设 f(x)x2(10x).(x0)． 则

f'(x)20x3x2． 令

f'(x)0 得0x令

f'(x)0 得x20． 320 或 x0． 320因为f(x)在区间0,上是单调增加．

320f(x)在区间,上是单调减少．

3因此当x20时,函数f(x)取得最大值． 3对nN．f(n)n2(10n)．

因为f(7)147f(6)144.所以 f(n)max147 ． 即数列的最大项为a7147 ．

例2．求数列{nn}的最大项．[5]

解：利用函数单调性,通过考虑连续变量x的最大值来求离散变量n的最大值． 设 f(x)x(x0),211x则 f'(x)x22lnxx1lnx．

xx1x11x1n1x所以当0xe时, f'(x)0,f(x)为单调增加． 当xe时,f(x)为单调减少．

所以 12，34n． 又因为23 所以最大项为利用函数的单调性进行数列的计算，而导数又是衡量函数单调性的重要工具，如此便让导数，函数，不等式有机的结合在一起，构成了强有力的解题体系。为我们快速准确的12***n解题带来了方便。

四、利用导数求函数的极值[3][4]

利用导数求函数的极值是导数在数学领域中又一大重要应用，它是求函数极值最重要的方法之一，为了掌握这种方法我们来看下面的两个例题。

例1.已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a,b,c的值；

(2)试判断x1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入.是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解.知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化.这是解答本题的闪光点.错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f(1)0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍.技巧与方法：考查函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值.解：(1)f(x)3ax22bxc ∵x1是函数f(x)的极值点，∴x1是方程f(x)0,即3ax22bxc0的两根.2b03a由根与系数的关系，得

c13a①

②

又f(1)=－1,∴abc1, 由①②③解得a,b0,c, 1232

③

133xx, 22333∴f(x)x2(x1)(x1), 222(2)f(x) 6 当x1或x1时，f(x)0, 当1x1时，f(x)0, ∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数.∴当x=－1时，函数取得极大值f(1)1, 当x=1时，函数取得极小值f(1)1.例2．设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间[2] 解：f'(x)=3ax2+1 若a＞0, f'(x)＞0对x∈(－∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.若a =0, f'(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a＜0,因为f'(x)=3a(x+

13|a|)·(x－

13|a|13|a|),此时f(x)恰有三个单调区间.13|a|13|a|所以a＜0且单调减区间为(－∞,－13|a|)和(,+∞)，单调增区间为(－,).例3．设x=1与x=2是函数f(x)= a lnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；

(2)试判断x=1, x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.解：f'(x)=a+2bx+1． xa+4b+1=0,解方程组可得 2(1)由极值点的必要条件可知：f'(1)=f'(2)=0,即a+2b+1=0,且a =－,b=－,∴f(x)=－lnx－(2)f'(x)=－2-11x－x+***

x+x． 6,当x∈(0,1)时，f'(x)＜0,当x(1,2)时，f'(x)＞0,当

56x(2,+∞)时，f'(x)＜0,故在x =1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值42－ln2.33因此,从上面的例题分析来看,导数在证明不等式及函数中有很多妙处，在解答函数及不等式证明问题时避免了一些不必要的复杂运算,简化了解题过程．而本文主要是利用了函数的单调性来研究不等式，并且数列作为特殊函数,用导数解决了有关数列的单调性问题及函数极值问题．在其中主要用到了构造函数,利用导数这一创造思维合理地有效地证明了不等式，使求极值的方法更简便。参考文献

[1] 唐永,徐秀． 慎用导数解数列问题． 数学通报． 2006．3 [2] 韩什元,李晓培． 高等数学解题方法汇编． 华南理工大学出版社． 2002．9． [3] 杨爱国． 利用导数解初等数学问题． 中学数学研究． 2004．4 [4] 陈文灯,黄先开． 高等数学复习指南:思路方法与技巧． 清华大学出版社．2003．7 [5] 龚冬保,武忠祥． 高等数学典型题解法技巧． 西安交通大学出版社． 2000．1 [6] 刘聪, 胜秦永． 函数与不等式高考题目回顾与展望． 中学数学教学参考． 2006．3 [7] 林源渠,方正勤． 数学分析解题指南． 北京大学出版社． 2003 Application in not waiting for the relation to prove of derivative

tala

200411557 Instructor

taogesi Mathematical Sciences Mathematics and Applied Mathematics

Mongolian cla 2004 level

Abstract：The derivative studies the function attitude, prove the inequality and solve the strong tools of some practical problems, especially knowledge such as the calculation of the derivative and several and identification with the inequality are synthesized． And several this special function, then this text come on structure function prove monotonicity to skilfully use function that does not vary the relation, come , reflect derivative in function to wait for relation of proving．

Keyword ： Derivative；Inequality；Function 8