用放缩法证明不等式1_用放缩法证明不等式

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用放缩法证明不等式

时间:2009-01-13 10:47 点击:

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不等式是高考数学中的难点，而用放缩法证明不等式学生更加难以掌握。不等式是衡量学生数学素质的有效工具，在高考试题中不等式的考查是热点难点。本难点着重培养考生数学式的变形能力

不等式是高考数学中的难点，而用放缩法证明不等式学生更加难以掌握。不等式是衡量学生数学素质的有效工具，在高考试题中不等式的考查是热点难点。本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。放缩法的理论依据是不等式性质的传递性，难在找中间量，难在怎样放缩、怎样展开。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的放缩方法。

⒈利用三角形的三边关系

［例1］ 已知a，b，c是△ABC的三边，求证：

证明：∴﹥。

∵=为增函数，又∵点评：学生知道要利用三角形的三边关系，但无法找到放缩的方法，难在构造函数。⒉利用函数的单调性

［例2］ 求证：对于一切大于1的自然数n，恒有。

证明： 原不等式变形为，令 则，所以。即 是单调增函数（n=2，3，„），所以。故原不等式成立。

点评：一开始学生就用数学归纳法进行尝试，结果失败，就放弃了。若使不等式的右边变为常数，再用单调性放缩就好了。⒊利用基本不等式

［例3］已知f（x）=x+证明：设

（1）+（2）得(x﹥0)求证：－,（1）（2）

点评：用数学归纳法证明，思路简单，但是难度很大，可以通过二项式定理展开，倒序法与基本不等式相结合进行放缩。⒋利用绝对值不等式 ［例4］设证明：∵=，∴，当，时，总有，，求证：。

又∵所以∴，∴

=7。点评：本题是一道函数与绝对值不等式综合题，学生不能找到解题的突破口，关键在于找到a，b，c与f（0），f（1），f（-1）的联系，再利用绝对值内三角形不等式适当放缩。⒌利用不等式和等比数列求和

［例5］求证：。

证明：=，利用不等式

∴﹤=﹤。

点评：有些学生两次用错位相减进行放缩，但是没有找到恰当的变形放缩，对利用不等式进行放缩不熟悉。若经过“凑”与不等式求和放缩就到了。⒍ 利用错位相减法求和

相结合，再利用等比数列［例6］已知a1, a2, a3, „„, an, „„构成一等差数列，其前n项和为Sn＝n2, 设bn＝记{bn}的前n项和为Tn,(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：Tn

解：(1)a1＝S1＝1, 当n≥2时, an＝Sn－Sn－1＝2n－1;由于n＝1时符合公式，, ∴ an＝2n－1(n≥1).(2)Tn＝， ∴ Tn＝ 两式相减得Tn＝＋＝＋(1－)－, ∴ Tn＝＋(1－)－

⒎ 利用裂项法求和［例7］已知函数在上有定义，且满足①对任意的②当证明：令上为奇函数.设时，则

.证明不等式.令，则，故

.在，且由可得，则由题有，即从而函数在时，.，所以

为，故上减函数.所以，即

.点评：本题将数列与不等式、函数综合考查数学逻辑推理能力，分析问题能力，变形能力，可以用数学归纳法证明不等式，但学生解题的过程不过完善。若用裂项法进行数列求和放缩就简单⒏利用二项式定理展开

［例8］已知数列满足(n∈N*),是的前n项的和，并且．

（1）求数列的前项的和；（2）证明：≤．（3）求证： 解：(1)由题意得

两式相减得

所以再相加

所以数列是等差数列．又又

所以数列的前项的和为．

而

≤.（3）证明：

点评：这是一道很有研究价值的用放缩法证明不等式的典例。考查了与 an 的关系，有些学生没有对an中的n进行讨论，也没有合并，虽用了二项式展开，但无法构造不等式进行放缩。对第3小题的放缩也可裂项法求和进行放缩。