考点17 推理与证明_考点21推理与证明

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考点17 推理与证明

1.（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察(x2)'2x，(x4)'4x3，(cosx)'sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)=（）（A）f(x)(B)f(x)(C)g(x)(D)g(x)

【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题解决问题的能力.【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论.【规范解答】选D．通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数，故选D．

123,1236,123410,……，2.（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）观察下列等式：根据上述规律，.其中Tn=__________________.【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键． 【思路点拨】观察Tn的奇数项与偶数项的特点．

【规范解答】观察Tn表达式的特点可以看出T20,T40，Tn0；当n为偶数时，……，T3113323，T51111Tn2535，……，当n为奇数时，2n3n．,当n为偶数时0Tn11n,当n为奇数时n23【答案】．

5.（2010·北京高考文科·Ｔ20）

已知集合Sn{XX(x1,x2,,xn),xi{0,1},i1,2,,n}(n2)对于A(a1,a2,...,an)，B(b1,b2,…bn,)Sn，定义A与B的差为AB(|a1b1|,|a2b2|,…|anbn|);

A与B之间的距离为d(A,B)ai1nibi

（Ⅰ）当n=5时，设A(0,1,0,0,1),B(1,1,1,0,0)，求AB，d(A,B)；（Ⅱ）证明：A,B,CSn,有ABSn，且d(AC,BC)d(A,B);(Ⅲ)证明：A,B,CSn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数

【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力。本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养．

【思路点拨】（I）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ)“至少”问题可采用反证法证明． 【规范解答】（Ⅰ）(Ⅱ)设AB(01,11,01,00,10)＝（1,0,1,0,1）

d(A,B)0111010010＝3 A(a1,a2,,an),B(b1,b2,,bn),C(c1,c2,,cn)Sn

a1,b1{0,1}，所以a1b1{0,1}(i1,2,,n)

因为从而AB(a1b1,a2b2,anbn)Sn

.由题意知当当ai,bi,ci{0,1}(i1,2,,n)

ci0时，aicibiciaibi

ci1时，aicibici(1ai)(1bi)aibi

d(AC,BC)aibid(A,B)i1n所以

(Ⅲ)证明：设A(a1,a2,,an),B(b1,b2,,bn),C(c1,c2,,cn)Sn

d(A,B)k,d(A,C)l,d(B,C)h

记0(0,0,0)Sn由（Ⅱ）可知

d(A,B)d(AA,BA)d(0,BA)kd(A,C)d(AA,CA)d(0,CA)ld(B,C)d(BA,CA)h

所以biai(i1,2,,n)中1的个数为k,ciai(i1,2,,n)中1的个数为l

设t是使biaiciai1成立的i的个数。则hlk2t

由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数．

6.（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合Sn{XX(x1,x2,,xn),xi{0,1},i1,2,,n}(n2)对于A(a1,a2,...,an)，B(b1,b2,…bn,)Sn，定义A与B的差为AB(|a1b1|,|a2b2|,…|anbn|);A与B之间的距离为d(A,B)aibi；

i1（Ⅰ）证明：A,B,CSn,有ABSn，且d(AC,BC)d(A,B);（Ⅱ）证明：A,B,CSn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ)设PSn，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d(P).证明：d（P）≤

nmn.2(m1)【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识．本题

.情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求．要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养．

【思路点拨】（I）直接按定义证明即可；（Ⅱ）“至少”问题可采用反证法证明；(Ⅲ)把出来，再利用均值不等式证明． 【规范解答】（I）设 因为 从而

A,BPd(A,B)表示A(a1,a2,...,an)，B(b1,b2,...,bn)，C(c1,c2,...,cn)Sn

ai，bi0,1，所以|aibi|0,1,(i1,2,...,n)AB(|a1b1|,|a2b2|,...,|anbn|)Sn

n 又d(AC,BC)||aici||bici||i1

由题意知当ai，bi，ci0,1(i1,2,...,n).ci0时，||aici||bici|||aibi|;ci1时，||aici||bici|||(1ai)(1bi)||aibi|

n 当所以d(AC,BC)|aibi|d(A,B)i1

(II)设A(a1,a2,...,an)，B(b1,b2,...,bn)，C(c1,c2,...,cn)Sn

d(A,B)k，d(A,C)l，d(B,C)h.记O(0,0,...,0)Sn，由（I）可知

d(A,B)d(O,BA)k，d(A,C)d(O,CA)l

d(B,C)d(BA,CA)h

所以|biai|(i1,2,...,n)中1的个数为k，|ciai|(i1,2,...,n)中1的个数为l．

设t是使|biai||ciai|1成立的i的个数，则hlk2t

由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数．

.d(P)（III）12CmA,BPd(A,B),其中A,BPd(A,B)t表示P中所有两个元素间距离的总和，设P中所有元素的.11cos(k1)AcoskAcosAcos(k1)Acos(k1)A，22解得：cos(k1)A2coskAcosAcos(k1)A

∵cosA，coskA，cos(k1)A均是有理数，∴2coskAcosAcos(k1)A是有理数，∴cos(k1)A是有理数。即当nk1时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。方法二：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

AB2AC2BC2cosA是有理数。

2ABAC（2）用数学归纳法证明cosnA和sinAsinnA都是有理数。

①当n1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinAsinA1cosA也是有理数。②假设当nk(k1)时，coskA和sinAsinkA都是有理数。当nk1时，由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，2sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，及①和归纳假设，知cos(k1)A和sinAsin(k1)A都是有理数。即当nk1时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。.