重积分证明题_积分证明题

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证明题（共 46 小题）

1、设函数f(x,y)和g(x,y)在有界闭域D上连续，证明

2、设函数f(x,y)和g(x,y)在D上连续，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)D，利用二重积分定义证明：

3、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且M，m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，证明：

其中σ是D的面积。

4、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，证明：

5、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，证明在D上必有点(ξ,η)使得

成立，其中σ是D的面积。

6、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D1和D2，证明

7、设D={(x,y)}｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},试证

其中φ(x)在[a,b]上连续，f(x),g(y)均在D上连续，且g(－y)=－g(y).8、设D={(x,y)｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},试证

[a,b]上连续，f(x,y)在D上连续且f(x,－y)=－f(x,y).9、设f(x,y)是连续函数，证明其中a,m为常数，且a>0.10、设f(u)为连续函数，试证

其中φ(x)在11、设f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上连续，且g(x,y)≥0,证明：在D上必有点(ξ,η),使

成立。

12、设f(x,y)为区域D：上的连续函数，试证

13、利用二重积分的估值性质，证明 线－x+y=1,x+y=1及ox轴所围成的区域。

其中D是由直

14、设f(x)在[a,b]上连续，证明 其中n>0.15、证明：

大于1的自然数。

16、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，试用二重积分证明不等式：

17、设f(x)在[0,1]上连续，证明

18、设f(x)在[a,b]上连续，证明不等式

19、设p(x)是[a,b]上的非负连续函数，f(x),g(x)是[a,b]上的连续单增函数，证明

20、设f(x)是[0,1]上的连续正值函数，且f(x)单调减少，证明不等式：

其中n为

21、设f(x)是[0,1]上的连续单增函数，求证：

22、设f(u)是连续函数，证明

及x=－1所围成的区域。

23、设f(t)为连续函数，证明

其中D是由y=x3,y=

124、设f(t)是连续函数，证明

其中A为正常数，其中a2+b2≠0.25、设f(t)是连续函数，证明

26、设f(x)在[0,a]上连续，证明

27、设f(x)是[a,b]上的连续正值函数，试证不等式：

其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.28、设f(u)为可微函数，且f(0)=0,证明

29、设Ω为空间有界闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续，若(ξ,η,ζ)∈Ω使得任意闭区域D，DΩ，都有f(x,y,z)dv=f(ξ,η,ζ)VD,VD为D的体积，试证f(x,y,z)在Ω上是常数。

30、锥面x2+y2－z2=0将闭区域x2+y2+z2≤2az(a>0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3：1.31、设D1与D2分别是第一象限由

以及x2+y2≤a2(a>0)所确定的闭区域，试证：面积关系式

32、设Ω是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所围的有界闭区域，,f(x,y,z)在Ω上连续，试证：(ξ，η，ζ)∈Ω满足

.33、设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,试证可选择适当的坐标变换，使得

(a2+b2+c2=1)

34、设Ω是上半单位球体x2+y2=z2≤1,z≥0,f(x,y,z)在Ω上连续，试利用球面坐标积分方法证明(ξ，η，ζ)∈Ω使得

222222f(x,y,z)dvf(,,)()().

35、试证：对形状为z=的增速与液面高度成正比。

36、设Ω为一半椭球体x2+y2+试证：

.(a;b>0)的容器，当其液面高度增速为常数时，其容积,z≥0.g(u)为一单调增函数。

37、试证：在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。

38、设Ω为由

≤1所确定的立体(0＜a≤b≤c)，其密度函数ρ=ρ(z)为关

[(x于z的偶函数。试证：对任意的(x0,y0,z0)∈Ω，关于(x0,y0,z0)的转动惯量满足I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(z)dv≤I(0,0,c).39、体密度为ρ(x,y,z)的空间立体Ω关于(x0,y0,z0)的转动惯量定义为：I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(x,y,z)dv.试证：I(x0,y0,z0)≥,其中

[(x

是Ω的重心坐标。

40、设Ω为一有界闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续。若对任意Ω1,Ω2

Ω,其对应体积为V1，V2，只要V1

。试证：f为正常数。

41、设f(z)在[－1,1]上有连续的导函数，试证：

42、设f(t)为一单调增函数，试证：

43、设f(u)为一单调增函数，试证：，其中

a2+b2+c3=1.44、设f(x,y,z)在有界闭区域D上连续，若对任意闭区域D1，D1



D都有，试证在D上f(x,y,z)≤0.45、设Ω为区域x+y+z≤1,P0(x0,y0,z0)为Ω外的一点，试证：

22。

46、设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，若

f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)·V,V为Ω的体积，试证：当f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值时f(x,y,z)在Ω必是一个常数。