等差数列、等比数列的证明及数列求和_等差数列的证明和求和

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等差数列、等比数列的证明

1．已知数列an满足a11，an3an12n3n2，（Ⅰ）求证：数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的通项公式。

2．已知数列an满足a15，an12an3nnN*，（Ⅰ）求证：数列an3n是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的通项公式。

3．已知数列an满足a11，an2an12（Ⅰ）求证：数列an是等差数列； n2nn2，（Ⅱ）求数列an的通项公式。

4．已知数列an满足a12，an1

an12an，1

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

an

（Ⅱ）求数列an的通项公式。

5．已知数列an，Sn是它的前n项和，且Sn14an2nN，a1

1*

（Ⅰ）设bnan12annN*，求证：数列bn是等比数列；（Ⅱ）设cn

an

2n，求证：数列cn是等差数列；

（Ⅲ）求数列an的通项公式。

数列求和的方法介绍

一、公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列求和公式：Sn

n(a1an)

na1

n(n1)

2d2、等比数列求和公式：Sn

na1n

aanqa1(1q)



11q1q

(q1)(q1)

二、错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列

三、裂项相消法

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解，其中裂项是手段，相消是目的。常见的裂项法有：

（1）an

1n(n1)

1n(n2)



1n



1n

1（2）an

1n(n1)



1n1



1n

n2

（3）an



111

2nn2

1anan1



（4）若an等差，公差为d0，则

11

【裂项原理】 an1an

（5）

2n12n1



例

1、已知数列an是等差数列，设其前n项和为Sn，若a59，S525（Ⅰ）求数列an的通项公式an；

（Ⅱ）设bn3，求数列bn的前n项和Tn

an

例

2、已知数列an的通项公式为an2n13，求前n项和Sn

n

例

3、已知数列an是等差数列，设其前n项和为Sn，若S535，S10120（Ⅰ）求数列an的通项公式an和Sn；（Ⅱ）设bn

1Sn，求数列bn的前n项和。