正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用（整理）_正定矩阵的判定方法

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用（整理）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“正定矩阵的判定方法”。

正定矩阵的判定方法及正定矩阵

在三个不等式证明中的应用

作者：袁亮（西安财经大学）

摘 要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用

Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix, determine, inequality, application

目 录引言…………………………………………………………………4 2 正定矩阵的判定方法………………………………………………4 2.1 定义判定 …………………………………………………………5 2.2 定理判定 …………………………………………………………6 2.3 正定矩阵的一些重要推论………………………………………11 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 …………………………15 3.1 证明柯西不等式 ………………………………………………15 3.2 证明Holder不等式……………………………………………16 3.3 证明Minkowski不等式…………………………………………18 结束语…………………………………………………………………21 参考文献………………………………………………………………22引言 代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛，n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意xRn，且x0，都有xTMx0成立2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定

设A=aij,(其中aijC,i,j=1,2,…，n), A的共轭转置记为A=aji 定义11 对于实对称矩阵A=aij,（其中aijR,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有XTAX>0,则称A是正定矩阵.定义21 对于复对称矩阵A=aij,（其中aijC,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有XAX>0,则称A是正定矩阵．

例1 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证 BTAB为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n.证 [必要性] 设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x0，有

xTBTABx0，即

BxTABx0.于是Bx0，因此，Bx0只有零解，从而rBn.[充分性] 因

BTABBTATBBTAB,T即BTAB为实对称矩阵.若秩rBn，则线性方程组Bx0只有零解，从而对任意实n维向量x0有Bx0.又A为正定矩阵，所以对于Bx0，有

BxTABx0, 于是当x0时，xTBTABx0.故BTAB为正定矩阵.例23 设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是 n×m 实矩阵，B的秩为 m，证明 ：B'AB 是正定矩阵.证 因为

（B'AB）'=B'A'B=B'AB, 故 B'AB 是实对称矩阵，其次，由于秩 B=m，m≤n.故 BX=0 只有零解，因此，若任取非零实列向量 X 必有 BX≠0，因 A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量 X，必有

X'（B'AB）X=(BX)'A(BX)>0.因此 B'AB 是正定矩阵.注意 以上两个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是，若 A 不是方阵，也不对称时，A'A，AA'是正定矩阵，若 A 是方阵，但不对称，则 A+A'是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2 定理判定

定理11 n阶实对称矩阵A正定，当且仅当实二次f(x1,x2,…,xn)=XTAX的正惯性指数为n． 证 设实二次型f(x1,x2,…,xn)经过非退化线性变换得

a1x1+a2x2+…+anxn.（2.1）

222由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A正定当且仅当（2.1）是正定的，由定义3知（3.1）正定当且仅当ai>0(i1,2,,n)，因此，正惯性指数为n..d1定理21 实对角矩阵(i1,2,,n).d2正定的充分必要条件是di>0，dn证 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型

f(x1,x2,…，xn)=d1x1+d2x2+…+dnxn.的正惯性指数为n，因此，di>0（i=1,2,…,n,）．

例3 设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使ABBTA是正定矩阵.证 [充分性]（反证法）

反设rAn，则A0.于是0是A的特征值，假设相应的特征向量为x，即

Ax0x0,222所以

xTAT0.所以xTABBTAxxTABxxTBTAx0，和ABBTA是正定矩阵矛盾.[必要性] 因为rAn，所以A的特征值1,2,,n全不为0.取B=A，则

ABBTAAAAA2A2.22T,22,2它的特征值为212n全部为正，所以ABBA是正定矩阵.定义3 在实二次型fx1,x2,,xn的规范形中，正平方项的个数p称为fx1,x2,,xn的正惯性指数，负平方项的个数rp称为fx1,x2,xn的负惯性指数，它们的差prp2pr称为fx1,x2,,xn的符号差.定理31 实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的秩与符号差n． 定理41 实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(x1,x2,…

xn)=XTAX的系数矩阵A的所有特征值都是正数，即大于零.证

由文献[1]知，实对称矩阵A可对角化为

a1a2 an其中a1，a2,,an恰好是A的特征值，则二次型XTAX的标准形为：

a1x1+a2x2+…+anxn,222而非退化实线性变换保持正定性不变，由

f(x1,x2,…，xn)=a1x1+a2x2+…+anxn.正定得ai>0(i1,2,,n)．

例4设A为实对称矩阵，则当t充分大时，A+tE为正定矩阵.222证 设A的特征值为1,2,...,ni为实数，取tmaxi，则AtE的特

1in征值iti1,2,...,n全部大于零，因此当tmaxi时，AtE是正定矩阵.1in例5 设A为n阶实对称矩阵，且A33A25A3E0.证明：A正定.证 设是A的任一特征值，对应特征向量为x0，即Axx，代入已知等式

A33A25A3E0, 有

A33A25A3Ex33253x0，因为x0，故满足

332530.得

1或12i，因A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有1，即A的全部特征值就是10，这就证明A是正定矩阵.定理51 实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同． 证

实正定二次型的规范形为

x1+x2+xn.222(2.2.1)而（2.2.1）的系数矩阵为单位矩阵，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．

定理62 实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C使得A=CTC． 证 设A为一正定矩阵，当切仅当A与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵C，使得

A=CTEC=CTC.定理71 实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零．

证 [必要性] 实对称矩阵A正定，则二次型

f(x1,x2,…,xn)=XAX=aijxixj是正定的，Ti1j1nn对于每一个k,1kn,令

fk（x1,x2,…，xk）=aijxixj，i1j1kk我们来证fk是一个k元正定二次型，对于一组不全为零的数c1，c2，…，ck，有

fk（c1，c2，…，ck）=fk（c1，c2，…，ck，0，…,0）>0, 因此，fk是一个k元正定二次型.由充要条件2得fk的矩阵行列式

a11a1k ak1akk>0,（k=1,2,…,n）.[充分性] 对n作数学归纳法 当n=1时，f(x1)=a11x1, 由条件a11>0，显然f(x1)是正定的．假定此论断对n-1元二次型成立，下证n元的情形.令

2a11a12A1=an1,1a12a22an1,2a1,n1a2,n1，an1,n1a1na2n，X=an1,nA1则 A=XTX.ann由A的顺序主子式全大于零可知A1的顺序主子式全大于零，由假设A1是正定矩阵，有n-1阶可逆矩阵 G，使得GTA1G=En1, 令

G0C1=01,则

C1TGTAC1=001A1XTXG0En1GTX.=Tann01XGann令

En1C2=0GTX, 1则

C2C1TT0En1GTXEn1AC1C2=XTG1XTGannEn1=0.TTannXGGX0En10GTX 1令

C=C1C2,a=ann-XTGGTX, 则有

11CTAC=.a两边取行列式得 C2A=a,由条件 A>0 知 a>0.由于

1111=1a111111a1.a因此，A与单位矩阵合同.由定理5得，A是正定矩阵．

定理82 n阶实对称阵A为正定的充要条件是存在对称正定阵B，使A=B2.证 [必要性] 存在正交阵Q，使

A=Q

B=QQT, 以及

diag(1,2,...,n).(i,i1,2,...n),QT=QQTQQT6 =B2, 为A的特征值.[充分性] 对任给

X0,XTAXXTB2X0，因为B正定，所以A正定.定理93 A是正定矩阵的充要条件是：存在非退化的上(下)三角矩阵 Q，使 A=QTQ.证 不妨以下三角矩阵为例来证明，上三角矩阵的情况同理可证.[必要性] 若 A=(aij)是 n 阶正定矩阵，则A的任意 k 阶主子式大于零．特别的有 ann>O．将 A 的第 n 列乘适当的倍数，分别加到第 1,2……n—l列上，再施同样的行变化，可使 A 变成为

A100a,nn的形式．

即存在非退化的下三角矩阵T1，使

AT1TAT1100, ann再令

T2diag(1,1,...,1,1ann),0.1

A1TT故T2T1AT1T20因为A正定，故A1作为A的n-1阶顺序主子式，也是正定的.对A1做同样处理，最终可得到

TTR2R1......T2TT1TAT1T2......R1R2En.令 QT1T2......T1R2,Q是非退化的下三角矩阵，且使A=OTQ [充分性] 是显然的．

定理102 A是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组 a1,a2,......,an使

TTTa2a2...ananA=a1a1.2.3 正定矩阵的一些重要推论

对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外，还有很多重要推论，下面给出.推论13 正定矩阵的和仍是正定矩阵．

证 若A与B为同阶正定矩阵，则对于非零列向量

C=(c1，c2,,cn)0, 必有

CTAC>0，CTBC >0, 从而

CT（A+B）C=CTAC+CTBC >0.所以A+B也是正定的.推论21 实正定矩阵的行列式大于零． 证

对A=CTC两边取行列式有

|A|=|CT| |C|=|C|2>0，因此，|A|>0．

推论3 与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵．(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4 正定矩阵A的逆矩阵A1一定是正定矩阵．

证

由命题1.3得正定矩阵A的逆矩阵A1一定是对称矩阵，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，所以存在可逆矩阵P使得

A=PTEP=PTP, 取逆矩阵得

A1=P1EP1,T令

Q=P1,T则

A1=QTEQ.因此，A1与单位矩阵合同，所以A1是正定矩阵．

推论5 正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵． 推论64 设A，B均为 n 阶正定矩阵，且AB=BA，则AB 正定.证 因为AB=BA，故(AB)'=B'A'=BA=AB，所以AB为实对称矩阵，又因为A 正定，所以实可逆矩阵P，使P'AP=E.[方法一] P'ABP=P'APP1BP=P1BP，而 B 正定，故 B 的特征值都大于零，所以 P'ABP 的特征值大于零，正定，AB是正定的.[方法二]5 P'AB(P')1=P'APP1B(P')1=P1B(P1)'，因为B 正定，故 P1B(P1)'正定，P1B(P1)'的特征值大于零，AB的特征值大于零，又因为AB实对称，所以AB是正定的.推论7 若A是正定矩阵，则A* 也是正定的(其中A*表示A的伴随矩阵).证 因为A正定，故 A1正定；A*=AA1(A>0)，所以 A*也正定.推论82 若A，B都是n阶实对称矩阵，且B是正定矩阵，则存在一n阶实可逆矩阵P使PTAP与PTBP同时为对角形.证 因为B是正定的，所以合同于E，即存在可逆阵U使UTBU=E；且A是n阶实对称矩阵，则

(UTAU)T=UTATU.存在正交矩阵C使

CT(UTAU)C=diag(1，2，⋯，n), 则

CT(UTBU)CCTECCTCE.取P=UC，则P为所求．

推论9 若 A 是实对称的正定矩阵，则存在 a>0，b>O，c>0，使 aE+A，E+bA.cE—A 均是正定矩阵.证

若A的特征值为i，1≤i≤n，则 aE+A 的特征值为 a+i，1≤i≤n，所以存在 a 使 aE+A的特征值大于零，其余同理可证.推论10 已知 A 是 n 阶正定矩阵，则Ak(k是正整数)也是正定矩阵.证 Ak与 A 的特征值有熟知的关系，故从特征值角度人手考虑．根据A正

k,...,k定，即知其特征值1，⋯，n 全正，由于 Ak 的全部特征值就是 1n 也都为正．这就知Ak是正定矩阵.例6 若 A 是 n 阶正定矩阵，则 A2E>2n.证 [法一] A与2E都是n阶实对称正定矩阵，因此存在一n阶实可逆矩阵 P 使 P(A2E)Pdiag(12,22,...n2).T由推论9可知其中入i(i=l，2，⋯，n)为 A 的特征值且大于零．所以 i+2(i=l，2，⋯，n)为 A+2E 的特征值，也是大于零的.所以

A2E=(1+2)(2+2)⋯(n+2)≥2n.[法二] 因为 A 与 2E 都是 n 阶实对称正定矩阵，由推论10，有

A2E≥ A+2E>2n.推论116 A为n阶正定矩阵，B为2n阶非零半正定矩阵，则AB>A+B.证 由题意可知，存在实可逆阵P，使P'AP=E，且

d1d2P'BP=，（di ≥0）dn..所以

P'ABPP'(AB)P1d11d2..1dn(1d1)(1d2)...(1dn)1d1d2...dnd1d2En..dnP'APP'BPP'(AB)PP(AB)2

所以

AB>A+B.推论12 若 A 是 n 阶实对称正定矩阵，则必有 a11>0，a22>0,…,ann>0.证 根据定义，对一切 X≠O 皆有 XTAX>0，故依次令X=e1，…en，就有

(e1)TAe1>O, 即 a11>0

  (en)TAen>0, 即 ann>0.3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 3.1 证明柯西不等式

如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式．进而我们就有必要知道如何用正定矩阵证明柯西不等式

(1)柯西不等式

在中学里，我们就熟悉了如下的一个不等式

x1y1x2y2...xnynxx...x21222nyy...y21222n

这就是著名的柯西不等式．如果我们将上述不等式用内积的形式来表示，则可将它 写成(,).(2)那如何用正定矩阵证明柯西不等式呢？

如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式．进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系．并应用正定矩阵证明柯西不等式.设A=(aij)是一个n阶正定矩阵，则对任何向量=(x1，x2，⋯，xn)与=(Y1，Y2，⋯，yn)，定义

(,)i,j1aijxiyj.则可以证明由上式定义的一定是n维向量间的内积．反之，对于n维向量问的任意一种内积，一定存在一个n阶正定矩阵A=(aij)，使得对任何向量和，(,)可由(2)式来定义．因此，给定了一个n阶正定矩阵，在n维向量间就可由该矩阵定义一个内积，从而可得到相应的柯西不等式

i,j1anijxiyji,j1anijxixji,j1anijyiyj.例7 证明不等式

2(x1y1x2y2x3y3)x1y2x2y3x3y1x3y222232x12x2x3x1x2x2x3y12y2y2y1y2y2y3

对所有实数x1，x2，x3和y1，y2，y3均成立．

证 从不等式来看，可知它相当于(,) 其中(,)是由矩阵

210A= 121.012所定义的，但要证明(,)是内积还需证明A是个正定矩阵．经验证该矩阵为正定矩阵．从而可看出该不等式就是由A所确定的内积所产生的柯西不等式，因此不等式成立.3.2 证明Holder不等式

设A为n阶正定矩阵，xRn，易知(x'x)2x'Axx'A1x7，本节将其推广为更一般的形式，并以此为工具给出Holder不等式的一个新证明.定理7 设A为n阶正定阵，xRn，r，s为任意正整数，则

(x'x)rs(x'Arx)s(x'Asx)r.证 对任一xRn,x0，令

sxAxa=rx'Arx'11rs, 则有a>0，令

ftartrasts, 易见ft在0,上有最小值

smrrrsrssrs, 由于A正定，故存在正交阵P使AP'P，其中

diag1,2,...,n,i0i1,...,n, 为A的特征值，于是

fAarArasAsP'diagf1,f2,...,fnP, 由于

fimi1,2...n, 故

diagf1,f2,...,fnmIn, 从而

fAarArasAsmIn, 于是

arx'Arxasx'Asxmx'x, 将a的表达式代入上式左端并整理得

axAxaxAxmxAx由此即得 r'rs's'rxAx'rsrrs,xAxxAx'r'rsrrsx'x, 即

xAxxAxxx'rs'sr'rs.证毕

下面我们 利用以上结果证明Holder不等式.Holder不等式 设ai0,bi0,p1,q1，并且

nn1pn1q111，则 pqpqababiiii.i1i1i1证 由常规的极限过渡法，不妨设ai0,bi0i1,2...n 且p，q为有理数；由111知必存在正整数r，s，使得 pq1s1r,.prsqrs令

xa1b1,a2b2,...,anbn'111111srsrR , Adiaga1b1,a2b2,...,ansbnr

n经简单运算得

xxaibi,'i1nxAxa'ri1n'snriaip,i1nnxAxbi1rsribiq,i1于是由(x'x)rs(x'Arx)s(x'Asx)r 得

aibii1nrsaipbiq, i1i1nsnr即

pqababiiii.i1i1i1nn1pn1q3.3 证明Minkowski不等式

引理18 设Ai，p

mAjBjj1pnmAjj11ppnmBjj11ppn.1p 引理28 设Ai，Bi（i=1，2,…,m）是n×n阶实对称正定矩阵，0

rnr2mAiBii1prmAii11pprmBii11ppr.1pr>n时，等式成立当且仅当AiBi；当r=n时，即为引理1，等式成立当且仅当AikBik0i1,2,...,m.证 令111,0p1，则p=q（p—1）.由Holder不等式（下文中由推pq论进行了证明）及引理1，得到

ABii1mpriAiBii11r1rm1rAiBip1rp1r

2i1mrnrAiBiAiBimpr

2rnrmAii1prAiBii1mAii11pmp1qrBii11p1qAiBii11p1pmp1qr= 1q2rnr1pBii1mprmAiBii1pr, 两边同乘

2便得到

rnrAiBii11pmpr, 1p1p1p2rnrAiBii1mprAii1mprBii1mpr.若令Aiai,Bibi,ai,bi0为一阶矩阵时，在引理2中，取r=1，0

paibiaipbiq.i1i1i1此为Minkowski不等式.n1pn1pn1q

结 束 语

本文重点介绍了正定矩阵的判定方法，归纳总结了判定正定矩阵的一系列定理及推论，并给出相应的证明和适当的例题.与此同时利用正定矩阵的性质以及得出的一些重要推论给出了柯西不等式，Holder不等式，Minkowski不等式的证明方法.参 考 文 献

[1] 王萼芳,石生明.高等代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社,2003:205-226.[2] 金义明,丁嘉华,王海敏.线性代数[M].北京：中国物资出版社，2002:198-224.[3] 张文丽.正定矩阵的简单应用.晋东南师专学报[L],2004,21（2）：67-69.[4] 岳贵鑫.正定矩阵的一些应用探讨.辽宁省交通高等专科学校学报[L],2008,10（5）：31-33,59-59.[5] 王海东.正定二次型的刻划定理及其程序.长春大学学报[L],2006,16（3）：28-30.[6] 曹璞.正定矩阵的判定与性质[J].南都学坛,1994(3)：1-3.[7] 冯天祥,刘学飞.Hermite正定矩阵迹的几个重要不等式[J].数学杂志,2009,29（3）.[8] 王长文,张有正.正定矩阵和的行列式不等式.浙江工业大学学报[L],2006,34（3）:352-354.