证明xn是无穷大_洛必达法则无穷大证明

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11是无穷大。2n

显然xn单调增加，故只需证xn无界。题目：证明数列 xn1

证法1：用反证法证明xn无界。

设xn有界，则xn有极限，设为s:limxns.n

11111，Bn,32n1242n

x则x2nAnBn,而Bnn,故Anx2nBns2222

因此lim(AnBn)0.但另一方面记An1n

1111111AnBn（1）（)()1,矛盾。2342n12n22

证法（2Oresme,1360)：

x211111nn1nn2n21,2

1112x4x2x2213442

1113x8x4x4415882

1114x16x8x481916162

,x2k1k,表明 xn无界，再由 xn的单调性知 xn.2

111 收敛。事实上n1n22n

11111yn1yn20, 故yn,2n12n2n12n2n1

n11又yn1.有界。设limyna.显然由 y1 及 yn知 a.nn122由于ynx2nxn,如果 xn有极限，设为b, 则证法3.先证明数列 yn

alimynlim(x2nxn)bb0, 这与上述 ann1 矛盾.2因此xn无极限。再由xn知xn.111n2n1证法4（James,1689).由212n1n2nnn

111有21,于是有nn1n

111x412234

11x25x43,525

依此类推可知xn无界.注1，证法4写出了x41111112, x25x43,234525请你写出随后的两个不等式。

注2，此数列 xn 趋于  的速度极慢，经计算知 x83才首次大于5,x12367才刚超过10。后面学了Euler常数的知识后可计算其近似值。有关历史资料可查阅：

邓纳姆，天才引导的历程，北京，中国对外翻译出版公司，1994，第八章