构造法证明等差_等差中项法证明

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构造法证明等差、等比数列

等差、等比数列的判定与证明

【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an－2SnSn－1＝0(n≥2，n∈

11N＋，Sn≠0)，a1＝2，判断S与{an}是否为等差数列，并说明你的理由． n

[审题导引] 因为已知关系式中包含an，Sn，Sn－1，所以应根据an与Sn的关系式：an＝Sn－Sn－1(n≥2)将已知条件转化为关于Sn与Sn－1之间的关系，从而判1断S是否为等差数列，并求出nSn的表达式，然后求出数列{an}的通项公式，并判断其是否为等差数列．

[规范解答] 因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以由an－2SnSn－1＝0，可得Sn－Sn－1－2SnSn－1＝0(n≥2)，111所以－S＝2(n≥2)，又因为S1＝a1＝2 Sn－1n

1所以S是以2为首项，2为公差的等差数列． n

11所以S2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝2nn

11所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－ 2n－1

－1＝，2nn－1

－1所以an＋1＝ 2nn＋1

－1－1而an＋1－an＝2nn＋12nn－1

1－111－＝2nn＋1n－1＝nn－1n＋1

所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列．

1综上，S是等差数列，{an}不是等差数列． n

【规律总结】

判断数列是否为等差(比)数列的方法

在判断一个数列是否为等差(比)数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的an＋1，方法，一般是先建立an＋1与an的关系式或递推关系式，表示出an＋1－an或an

然后验证其是否为一个与n无关的常数．另外，常数列{an}的通项公式an＝a，它是一个首项a1＝a，公差d＝0的等差数列，若a≠0，则该数列也是一个首项a1＝a，公比q＝1的等比数列．如果一个数列中包含有0的项，那么这个数列一定不是等比数列．

【变式训练】

3．(2012·西安模拟)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝2an＋2.(1)求证：数列{an＋2}是等比数列(要求指出首项与公比)；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析(1)证明 由an＋1＝2an＋2，得an＋1＋2＝2an＋4，an＋1＋2即an＋1＋2＝2(an＋2)，即2(n∈N＋)，an＋2

又由a1＝2得a1＋2＝4，所以数列{an＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．

(2)由(1)知an＋2＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－2，所以Sn＝22＋23＋…＋2n＋1－2n 221－2n＝－2n＝2n＋2－2n－4.1－2

【押题2】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝an{bn}是等差数列； 2－(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，得

an＋12an＋2nanbn＋1＝2＝2＝－＋1＝bn＋1.2

又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)由(1)知a－2n1，－＝n，即an＝n·2

Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，两边乘以2得

2Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，两式相减得

Sn＝－1－21－22－…－2n－1＋n·2n ＝－(2－1)＋n·2＝(n－1)2＋1.nnn