一个重要_数列的极限存在问题_的证明总结完成_数列极限存在的证明

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一个重要数列的极限存在问题的证明总结

摘要：用两种方法对一个重要的数列的极限存在问题的证明总结，这个重要的数列是{yn=(1+1n)} n

关键词：数列，极限，存在问题

在《数学通报》，2006.6一期中，有一篇《一个重要的极限的证 明》。对数列{yn=(1+)n}的极限的存在问题给出了一种新的简明证 法。下面，我对这个极限的存在问题的证法进行总结。

n

1n*(n1)1n*(n1)(n2)3*2*11yn=1+n*+*2++ nn2!n!nn

11112112=1+1+(1-)+(1-)(1-)++（1-）（1-）2!nnnn!nn3!n1（1-）n1n证法一：对{yn=(1+)n}应用二项式展开，可得：

yn-1=1+1+

1-1111211(1-)+(1-)(1-)++(1-)(2!n13!n1n1n1(n1)!2n)(1-)n1n1

11但，(1-)﹤(1-)nn1

22(1-)﹤(1-)nn1 

n1n1（1-）﹤（1-）nn1

所以,yn中的每一项都小于yn+1中的相应项,而yn+1中还多出最后一项.且,这项显然大于零,因此,yn﹤yn+1故{yn}是单调

增加数列.现在来证明{yn}的有界性,因 yn的展开式的每一项括号内的因子都是小于1的,所以有, 0﹤yn﹤1+1+

111111+++﹤1+1+ +++2!3!n!1*22*3(n1)*n

=1+1+（1-）+（-）++（=1+1+1-

1n

12112311-）n1n

)ne 存在。即,{yn}为有界数列,根据夹值定理, lim(1n

证法二:预备知识：基本不等式——a1*a2*an（n

1n

a)(ai0)

ii1

n

n

令xn=(1+)n则由基本不等式——a1*a2*an（nn111nnn11

（n+1+*n）]n+1 [n1n1n+1

=(1+)

n1

a)

ii1

n

n

得，xn=1*（1+）（1+）（1+）

=xn+1

于是，数列{xn}单调不减

令zn=（1+）n+1则再由上面的不等式有：（n1n*(n1)n+2）n+1[(1+)] n1n1n2

n2n+2 =()n1

1n

又由于幂级数的运算法则——“底数颠倒，指数反号，其值不变”，有，yn =（1+）n+1 >=（nn2n+2)n1

= yn+1

于是，对任意给定的 n 属于N,均有yn4，又由于

xn=(1+

1n1)（1+）n+1= yn+1 nn

故数列{xn}单调不减且有上界（上界为4）根据数列极限的 存在准则，数列{xn=(1+

1n)}极限存在 n

由于这个极限首先被瑞士科学家欧拉（L.Euler

)ne 1707-1783）记为e,因此有：lim(1n

1n

参考文献：陈传璋等编，《数学分析》（第二版）上册，高等教育出版

社，1983年7月 《数学通报》 2006年6月