含绝对值符号的不等式的解法与证明_含绝对值的不等式证明

含绝对值符号的不等式的解法与证明由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“含绝对值的不等式证明”。

[本周内容]含绝对值符号的不等式的解法与证明

[重点难点]

1．实数绝对值的定义:

|a|=

这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则

|x|

|x|>a

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3．常用的同解变形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)

|f(x)|

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

例题选讲:

例1．解不等式 |x2+4x-1|

解:①-4g(x)； f2(x)

-aa。

-5

即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。

例2．解不等式|x2-3|>2x...........①

解:①

即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。

例3．解不等式|

|≤1...........①-33

x3。x2-32x

x2+2x-30

解: ①

(2)

(3)(x+4)(3x+2)≤0,x≠1。

]。

-4≤x≤-|2x+3|2≤|x-1|2

(2x+3)2-(x-1)2≤0

(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0。

∴原不等式的解集为[-4，-

例4．解不等式|x+1|+|x-2|

分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。

解:将不等式①化为三个不等式组

（I）

-2

（II）

-1≤x≤2；

（III）

2

∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。

例5．解不等式|x+1|+|x-2|

解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式无解。

说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。

例6．已知:|a|

证法1：欲证①，只需证

只需证(a2+b2-a2b2-1)

∵ |a|

∴ 原不等式成立。

证法2：欲证①，只需证-1

只需证（只需证

·

-1）

|

只需证|a+b|

只需证

只需证

∵ |a|

又(1+ab)2>0, ∴③式成立，∴ 原不等式成立。

例7．求证:

证法1:

∵

∵ 上式显然成立，∴

又

证法2：这里只证明

分析:观察两式结构均为y=

≤

=

+

≤

成立。≤ |a+b|≤|a|+|b|。

|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)

≤

≤

+。

≤+。

∴ 原命题成立。的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明函数在[0，+∞）上单调递增即可。

证明:设0≤x1≤x2, 则

-=，∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴

≥0。

∴-≥0, 即≥，设x1=|a+b|, x2=|a|+|b|

∵ |a+b|≤|a|+|b|，∴

参考练习:

≤。

1．解不等式 |x2+3x-8|≤10。

2．解不等式 |x+7|-|x-2|

3．解不等式 |

4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。

5．求y=

6．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|

7．已知|x|

参考答案:

1.[-6,-2]∪[-1, 3]；

2.(-∞,-1)；

3.[

4.提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，]∪[，3）。, 2)∪(6, +∞)； , |y|

, |z|

,(ξ>0)。求证:|x+2y-3z|

, |f(2)|

, |f(3)|

,不可能同时成立。的值域。

-3|>1。

5．提示:可用反解法解出sinx=

6．提示:用反证法

略证:假设|1+a+b|

，则解不等式||≤1得y∈[-4,-]。, 及|9+3a+b|

由题设a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z，∴ 1+a+b=0.........①

同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③

由①，②解得a=-3, b=2。但不满足③式，故假设不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同时小于

7．证明略。