考点21、推理与证明[优秀]_考点21推理与证明

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【考点21】推理与证明

1.(2010金华模拟)已知p是q的充分不必要条件，则q是p的（）（Ａ）充分不必要条件（Ｂ）必要不充分条件（Ｃ）充要条件（Ｄ）既不充分也不必要条件

【解析】选Ａ.反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若pq则q2.(2010江南模拟)设a、b、c都是正数，则a

1b



p.,b

1c,c

1a

三个数（）

A、都大于2B、至少有一个大于2C、至少有一个不大于2D、至少有一个不小于2 【解析】选D.3.(2010芜湖模拟)在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，且（）

（Ａ）等腰三角形（Ｂ）直角三角形（Ｃ）等边三角形（Ｄ）等腰直角三角形 【解析】选A.

acosA



bcosB

acosA



bcosB，则△ABC一定是，

sinAcosA



sinBcosB，tanAtanB，又因为A,B0,，AB；

4.(2010福州模拟)5.已知函数yf(x)的定义域为D，若对于任意的x1,x2D(x1x2)，都有

x1x

22f(x1)f(x2)

f()，则称yf(x)为D上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为（）

（Ａ）ylog2x（B）

y

（C）yx（D）yx

3【解析】选C.可以根据图像直观观察；对于（C）证明如下：欲证f（2

x1x2

2)

f(x1)f(x2)

2，即证

22x1x2x1x222

xx2x2xxx0，显然，这个不等式是成立，即证，即证121212

22

22的，且每一步可逆，故原不等式得证；

5.(2010深圳模拟)对于任意实数a,b定义运算a*b=（a+1）(b+1)-1,给出以下结论： ①对于任意实数a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);

②对于任意实数a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是.（写出你认为正确的结论的所有序号）答案：②③

6.(2010南通模拟)对于等差数列an有如下命题：“若an是等差数列，a10，s、t是互不相等的正整数，则有（s1）at（t1）as0”。类比此命题，给出等比数列bn相应的一个正确命题是：“___________________________________________________”。

【解析】这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中、、、类比到等比数列经常

n是、、（）()，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础。



btbs

s1t

1b

b

q1

t1

q

s1



s1

t1

1.答案：若bn是等比数列，b11，s、t是互不相等的正整数，则有

btbs

s1t

11。

7.(2010丽水模拟)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1

是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）答案：锐角钝角

8.(2010东直模拟)设直角三角形的两直角边的长分别为a,b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有

abch 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①a2b2c2h2；②a3b3c3h3；

③ abch；④abch.其中正确结论的序号是__；进一步类比得到的一般结论是：__

【解析】可以证明②③正确；观察②abch；③ abch的项与系数的关系，还有不等号的方向可得：abch(nN)。答案：② ③，abch(nN)

9.(2010汉沽模拟)在直角三角形ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则

1h

4444555

53333444

4nnnn

nnnn



1a



1b，由此类比：三棱锥SABC的三个侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则.答案：

1h



1a



1b



1c

10.(2010长沙模拟)已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正确命题的序号是

.答案：①

11.(2010莆田模拟)在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比

AEEB

=

ACBC，把这个结论

类比到空间：在三棱锥A—BCD中（如图所示），而DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是.【解析】本题是平面几何与立体几何的类比，是一个从二维到三维递进维数的类比，从图形上有点与线、线与面、三角形与三棱锥的类比，所以我们可以先来观察三角形的性质及其证明过程。经常地，二维中的点类比到三维中经常变成线，二维中的线类比到三维中经常变成面。平面与空间的类比主要着眼于两个对象之间在形式与数量关系上的相似。答案：

AEEB

=

SACDSBCD

12.(2010南宁模拟)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为

a

.类比到空间，有两个棱长

均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.aaa

【解析】平面内类比到空间。

822

3答案：

a

813.(2010北京模拟)点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.（1）求证：CC1⊥MN；

（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.【证明】：（1）∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PMPNP ∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有 S

2ABB

1A

1=S2

BCC

1B1

+S2

ACC

1A1

-2SBCC

1B1

SACC

1A1

cos.其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角.∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP

222∴PM2·CC1=PN2·CC1+MN2·CC1-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP，由于SBCC1B1=PN·CC1，SACC1A1=MN·CC1，SABB1A1=PM·BB1=PM·CC1，∴S2

ABB

1A1

=S2

BCC

1B1

+S2

ACC

1A1

-2SBCC

1B1

·SCCA

1A1

·cos.1、s36，14.(2010泉州模拟)已知等差数列{bn}的前n项和为s

n，且b1（1）求数列{bn}通项公式，（2）证明数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列。【解析】（1）

b1

1、s3

6，bnn

（2）假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则bqbpbr。

即(q

(p

r。

(qpr)(2qpr0



p，q，rN，q2pr0，

2qpr0，pr2(pr)0，pr． pr，2

与pr矛盾。

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

axbx

ab

15.(2010上海模拟)(1)已知：a,b,x均是正数，且ab，求证：1

ab；

(2)当a,b,x均是正数，且ab，对真分数

sinAsinBsinC，给出类似上小题的结论，并予以证明；

sinCsinAsinB

(3)证明：△ABC中，论)



sinBsinCsinA

2(可直接应用第(1)、(2)小题结

(4)自己设计一道可直接应用第(1)、(2)小题结论的不等式证明题，不要求写出证明过程.【解析】(1)axbx0,1

axbx

ab

x(ba)b(bx)

axbx,又

ba

0,1

axbx



ab

.bx

b

ba

bxax

(2)ab,

axaabc

2.(3)由正弦定理，原题⇔△ABC中，求证：

bccaab

1,应用第(1)小题结论，得1,取倒数，得1.证明：由(2)的结论得，a,b,c0,且

a

bccaab

a2ab2bc2c

,,，bcabccaabcababc,b,c

均小于1，abc



bca



cab



2aabc



2babca





2cabcb



2.cabd



dabc

2.(4)如得出：四边形ABCD中，求证：

bcdcda

如得出：凸n边形A1A2A3┅An中，边长依次为a1,a2,,an,求证：

a1

a2a3an



a2

a1a3an



an

a1a2an1

2.如得出：{an}为各项为正数的等差数列，(d0),求证：

a1a2

aa



a2na

n2



aa



aa

5

aa

n2n2.