尺规三等分角不能的向量证明_尺规作图三等分角

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定义：设S={Z0=1，Z1，...Zn}是n+1个复数，将

(1)Z0=1，Z1，...Zn叫做S-点；

(2)过两个不同的S-点的直线叫S-直线，以一个S-点为圆心、任意两个S-点之间的距离为半径的圆叫S-圆；

(3)由S-直线与S-直线、S-直线与S-圆、S-圆与S-圆相交的点也叫S-点。上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以P表示全体S-点的集合，那么P也就是从S={Z0=1，Z1，...Zn}出发通过尺规作图所得到的全部复数。

定理：设Z1，...Zn(n≥0)为n个复数。设F= Q(Z1，...Zn，Z1'，...Zn')，(Z'代表共轭复数)，那么，一个复数Z可由S={Z0=1，Z1，...Zn}作出的充要条件是 Z属于F(u1，...un)。其中u12属于F, ui2 属于F(u1，...ui-1)。换言之，Z含于F的一个2次根号扩张。

系： 设S={Z0=1，Z1，...Zn}，F= Q(Z1，...Zn，Z1'，...Zn')，Z为S-点，则 [ F(z)：F] 是2的方幂。

以下证明三等分任意角不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角： 证明：所谓给了60度角，相当于给了复数Z1=1/2+√3/2 i。从而S={Z0=1, Z1}，F=Q(z1, z1')=Q(√-3)。如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程 4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在Q[x]中不可约，从而[Q(cos20)：Q]=3，于是

6=[ Q(cos20, √-3)：Q] = [F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F] [F：Q]

由于[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根据上面的系可知cos20不是S-点，从而20度不可能三等分。证毕