高中数学竞赛辅导(证明线段或角相等)_谈高中数学竞赛辅导

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高中数学竞赛辅导（证明线段和角相等）基础知识

（1）证明两线段相等的常用方法：①利用全等三角形；②利用角平分线和线段中垂线性质；③利用等腰三角形、平行四边形（如矩形、正方形）、等腰梯形等特殊图形的性质；④利用圆的基本性质；⑤利用反证法；⑥利用面积法；⑦利用线段线段的积性等式；⑧利用同一法；⑨利用三角度量公式进行代数（三角法）。范例解读

1．P为△ABC内一点，∠PAC=∠PBC，由P作BC、AC的垂线，垂足为L、M，设D为AB的中点，求证：DM=DL。

2． O、H分别是锐角△ABC的外心、垂心，点D在AB上，AD=AH，点E在AC上，AE=AO，求证：DE=AE。

A

C

B

3．ABCD为内接四边形，E、F分别在AB、CD上变动，满足AE：EB=CF：FD，P在线段EF上，使得PE：PF=AB：CD，求证：P到AD、BC的距离相等。

D

F

4．圆PN，设l是圆P1和圆P2相交于点M、1和圆P2的两条公切线中距离M较近的那条公切线，l与圆P1相切于点A，与圆P2相切于点B，设经过点M且与l平行的直线与圆P1还相交于C，与圆P2相切于点D，直线CA和DB相交于点E，直线AN和CD相交于点P，直线BN和CD相交于点Q，证明：EP=EQ。

D

5．平面上任给圆O和直线l，过O作直线l的垂线交圆O于PQ，任P、Q中的一点，不妨取点P，过P作直线AB分别交圆O和直线l于A、B，过P作直线CD交圆O和直线l于C、D，连接AD圆O于E，连接BC交圆O于F，证明：PE=PF。

P

i

CM

6．梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，设点K位于两个圆之外，证明；由K向这两圆所作的切线相等。

AD

7．在直角三角形ABC的直角边上向外做正方形ACDE、BCFG，AG、BE分别交BC、AC于P、Q，证明：CP=CQ。

G

AB

8．在凸四边形ABCD的边AB、BC上取点E、F，使得线段DE、DF分对角线AC为三等份，1已知△ADE和△CDF的面积分别是四边形ABCD的面积的，证明：AB=CD。

C

F

A

9．设四边形ABCD内接于⊙O，其对边AB、CD的延长线交⊙O外一点E，自点E引一直线平行于AC，交BD的延长线于点M，自点M引MT切⊙O于点T，求证：MT=ME。

10．O、I分别为△ABC的外心和内心，AD上BC边上的高，I在线段OD上，求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。

11．设CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，O、O1,O2分别为△ABC、△ACD、△BCD的内

12的外接圆半径与△ABC的内切圆半径相等。心，求证：△OOO

12．在△ABC中，BC边最短，∠A的内角平分线交BC于点D，∠B和∠C的内角平分线交射线AC、AB于点

E、F，过点D做BC的垂线，过点F做AB的垂线，过点E做AC的垂线，这三条垂线交于点Q，求证：AB=AC。