021几何中线段关系证明归纳.1doc_几何证明线段和

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几何中线段关系证明归纳

几何证明是初中数学的重点内容之一，而线段关系的证明又是几何证明中的一个重点，本文将线段关系证明有关知识归纳如下，供同学们学习参考：

一、证线段不等关系的证明：

1、利用三角形三边关系两边之和大于第三边

例

1、已知：P为ABC内任一点。求证：1ABBCACAPBPCPABBCAE。

2证明：延长BP交AC于D点，则

在ABD中，BP+PD

在PCD中，CP－PD

∴BP+CP

同理，CP+AP

将以上三式相加：

2（AP+BP+CP）

在PAB中，AB

在PBC中，BC

在PAC中，AC

三式相加：AB+BC+AC

∴1ABBCACAPBPCPABBCAC 2

A 例

2、如图在ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，分别交AB、AC于

M、N，连结MN，求证：BM＋CN＞MN。

略证：连结MD并延长至点P，使MD＝DP，连结NP、CP

PM N C

MNDPNDMNPN



BDMCDPBMCPBMCNMN

PNCCPNCPN

2、一个三角形中较大角所对的边较大

二、证线段平方关系

1、利用勾股定理

例

2、在ABC中，A900，点D和E分别在AC、AB上。

求证：BD2DE2BC2。

证明：∵∠A=900由勾股定理 BD2=AB2+AD2DE2=AE2+AD2 ∴BD2－DE2=AB2－AE

2又∵BC2=AB2+AC2CE2=AE2+AC2 ∴BC2－CE2=AB2－AE2BD2―DE2=BC22、利用切割线定理：

3、射影定理

4、垂径定理

C

三、证线段相等

1、利用线段中垂线性质定理和角平分线性质定理

例

3、等边三角形ABC的B、C平分线相交于O点，OB和OC的垂

直平分线与BC分别相交于E、F，交OB于G，OC于H点。

A求证：BE=EF=FC

证明：∵ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠

又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB

∴∠OBE=∠OCF=300连接OE、OF

∵EG，FH分别是BO、OC垂直平分线

又∵EB=EO，FC=FO∴∠EOB=∠EBO=30

00

∠FCO=∠FOC=30∵∠OEF=∠OFE=60

∴OEF是等边三角形∵OE=OF=EF∴BE=EF=FC

C2、利用三角形全等证线段相等

例

4、已知，如图，ABC，DCE都是等边三角形，且B、C、E共线，M、N

分别为BD、AE的中点。

求证：CM=CN。

证明：在ACE和BDE中CE=CDAC=BC∠ACE=600+∠ACD∠BCD=60

+∠

ACD

∵∠ACE=∠BCD

∴ACE≌BDE（SAS）又∵CM是BD边中线，CN是AE边中线

∴CM=CN（全等三角形对应边上中线相等）

3、用线段比例关系

例4 已知：如图，E是菱形ABCD的边DC上一点，AE交BC的延长线于F，EG∥AD交DF于G点．

求证EG=EC．

分析： 这里虽是证两线段相等，但以前的方法很难凑效．题设中给了许多直线平行的条件，由此可写出很多比例式．所以应考虑通过证明比相等来证明线段相等的方法．

说明： 应用比例证明线段相等的方法是：

五、证明线段的倍分关系

1、截长补短法

例

5、如图，AE∥BC，AD、BD分别平分∠EAB、∠CBA，EC过点D。求证：AB=AE+BC。

证明：在AB上截取AF=ED，连结DFAE=AF∠1=∠2AD=AD

∵AED≌AFD（SAS）E

∴∠E=∠AFD

又∵AE∥BC∴∠E+∠C=1800∠AFD+∠C=1800

又∵∠AFD+∠DFB=1800

∴∠C=∠DFB∠3=∠4 BD=BD

∵DFB≌DCB（AAS）∴BF=BC即AB=AE+BC2、加倍折半法

例

6、已知ABC中，AB=AC，E为AB中点，在AB延长线上取一点D，使BD=BA。

求证：CD=2CE。

证明：延长CE到F，使EF=CE，连结BF∵AE=EB，∠AEC=∠BEF，CE=FE

∵AEC≌BEF∴∠A=∠1，AC=BF

又∵AB=AC=BD

∴BF=BD，∠CBF=∠CBA+∠1，∠CBD=∠ACB+∠∴∠CBF=∠CBD

又∵BC=BC∴CBF≌CBD

∵CF=CD∴CE=1

CD∴CD=2CE

C

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