导数公式证明_导数的公式及证明
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导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n
证法一：（n为自然数）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim(x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)
证法二：（n为任意实数）
f(x)=x^n lnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1)
（2）f(x)=sinx f'(x)=lim(sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim(sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim(sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx
（3）f(x)=cosx f'(x)=lim(cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim(cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim(cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim-sinxsinΔx/Δx=-sinx
（4）f(x)=a^x f'(x)=lim(a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）
=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna
若a=e，原函数f(x)=e^x 则f'(x)=e^x*lne=e^x
（5）f(x)=loga^x f'(x)=lim(loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx
=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim(x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)
若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanx f'(x)=lim(tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim(sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx =lim(sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim(sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
（7）f(x)=cotx f'(x)=lim(cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim(cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx =lim(cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim(cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim-sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2
（8）f(x)=secx f'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim(1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx =lim(cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim(cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx
（9）f(x)=cscx f'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim(1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx =lim(sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim(sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim-sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx
（10）f(x)=x^x lnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)' f'(x)/f(x)=lnx+1 f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim(f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx =lim(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim(f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim(f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim(f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx =lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim(f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim(f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)总结一下
（x^n）'=nx^(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2(secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)
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