证明三角形全等总复习(经典题目)(含答案)_三角形全等证明经典题

2020-02-28 证明下载本文

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三角形专题训练

【知识精读】

1.三角形的内角和定理与外角和定理； 2.三角形中三边之间的关系定理及其推论；

3.全等三角形的性质与判定； 4.特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；

5.直角三角形的性质与判定。【分类解析】

1.三角形内角和定理的应用

例1.如图1，已知ABC中，BAC90，ADBC于D，E是AD上一点。

求证：BEDC

AEBD图1C

2.三角形三边关系的应用

例2.已知：如图2，在ABC中，ABAC，AM是BC边的中线。

求证：AM1ABAC 2-1连结MN。求证：AMN的周长等于2。

AMNBD图4CM'

（2）“全等三角形”在综合题中的应用

例5.如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。

延长线于E，AE1BD。求证：BD平分∠ABC

AEDC图6BF

例8.某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD为多少度时，才能达到上述要求？

AEBDMC

5.设三个正数a、b、c满足abc某个三角形三边的长。

22222a4b4c4，求证：a、b、c一定是

AC＝AB

ABMCAFAMCF，∠F∠AMB

又AM＝MC，∴MC＝CF

又∠3＝∠4＝45°，CD＝CD

CDMCDF

∠F∠CMD∠AMB∠CMD

证明二：过点A作AN平分∠BAC交BM于N

A123MECBND

∠2∠BAE∠3∠BAE90∠2∠3

又AN平分∠BAC

∠1∠C45

又AB＝AC

a2b2c22ab022a2b2c22aba2b2c22ab022abc2abc20 

abcabcabcabc0abc0abcabcabc0abcbcacab0a、b、c是某一三角形三边的长。

∴DM平分∠ADC

说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。

4.分析：欲证AMN的周长等于2，需证明它等于等边ABC的两边的长，只需证MNBMCN。采用旋转构造全等的方法来解决。

证明：以点D为旋转中心，将DBM顺时针旋转120°，点B落在点C的位置，点M落在M'点的位置。

得：∠MBD＝∠NCD＝90°

RtMBDRtM'CD∠DCM'∠DBM90

∴∠NCD与∠DCM'构成平角，且BM＝CM'，DM＝DM'，∠NDM'＝∠NDC＋∠CDM'＝∠NDC＋∠BDM＝120°－60°＝60°

在MDN和M'DN中，DMDM'，∠MDN∠M'DN60，DNDN

AMN的周长AMANMNAMANBMCNABAC说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。5.分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。

解：∵AC平分∠FAE，CF⊥AF，CE⊥AE

∴CF＝CE

BC2BE2102628

AE2CE22168217

∴DF＋FE＝BD＋CE＝9

即DE＝9

故选A 7.分析：要证∠ABD＝∠CBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。

简证：延长AE交BC的延长线于F

易证ACFBCD（ASA或AAS）

AFBD

AE1 BD21AEAFEF2

于是又不难证得BAEBFE(SAS)