用构造局部不等式法证明不等式_用构造法证明不等式

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用构造局部不等式法证明不等式

有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。

例1.若a，求证：212 ab123，bR，ab2分析：由a，b在已知条件中的对称性可知，只有当a，即2时，等号a13b1才能成立，所以可构造局部不等式。

证明：2 a1·(2a1)·3·(a2)*3332a133323同理，2b13(b2)33333∴2 a12b1(a2)(b2)23

2222xxxx2n1n…x，x，…，x例2.设x是n个正数，求证：1 1x212nxxx2x3n1…xn。

证明：题中这些正数的对称性，只有当x时，等号才成立，构造局部x…x12n不等式如下：

2222xxxx12n1n。x2x，x2x，…，x2x，x2x2132nn11nxxxx23n1将上述n个同向不等式相加，并整理得：

2222xx1x2n1xn…xx…x。12nxxxx23n1，a，…，a…a1例3.已知a均为正数，且aa，求证： 12n12n222aaa112n…。

aaaaa12a23n122aaa112a，a，…，a证明：因a均为正数，故，112naa41222a2a2a3anaa1a2，…，nan。

a2a34ana14又∵aaaaaa111223n1…(aa…a)12n，44422∴把以上各个同向不等式相加，整理得：

222aaa112n …aa…a112naaaaaa21223n1222aaa112n故…。aaaaa12a23n12例4.设a，且a，求证：，b，cRbc1（第36届IMO）

*3111。333a(bc)b(ca)c(ab)2证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当a时，才有可能达到最小值bc131bc1，此时刚好3。所以，可构造如下局部不等式。2bc2a(bc)4∵1bc112，33bcabc()44abca1ac112，33acbac()44bacb1ab112，33abcab()44cabc111∴333a(bc)b(ca)c(ab)

1111bcacab()()abc4bcacab1111313()3 2abc2abc2

222abc1，b，cR例5.设a，且a，求证：。bc2bccaab*证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当abc时，才可能达到最小值1，23a2bc此时刚好。所以，可构造如下局部不等式。bc4222abcbcacab∵ a，b，cbc4ca4ab4222abc1∴ (abc)abcbccaab2222abc即 1bccaab