极限选择题训练 辨析题训练 计算题训练 证明题训练_极限计算题及答案

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一、选择题

1．下列数列极限存在的有（）

A．10，10，10，„ n1nC.fnn1nn为奇数3254B．，， 2345

n为偶数11D.．fnn1nn为奇数n为偶数

2．下列数列收敛的有（）A.0.9,0.99,0.999,0.9999,„

11111B．1，1，1，

22334nnC.fn1

n13．下列数收敛于0有（）

2n12nD.fnn212nn为奇数

n为偶数111A．，0，0，0, 248n1C.fn1

n1111111B．1，，，，

32537491nD.fn1n1n为奇数

n为偶数4．数列xn与yn的极限分别为A与B，A≠B，则数列x1,y1,x2,y2,x3,y3,的极限为（）

A．A B．B

C．A+B

D．不存在xn收敛,yn发散,5．如果数列则xnyn(A．可能收敛 B．一定收敛

xx0)

D．一定发散

C．可能发散

6．函数fx在x0有定义是limfx存在的(A．充要条件 B．充分条件

7．下列极限存在的有（）)

D．无关条件

C．必要条件

A．limx(x1)

xx21xB．limx01 2x1C．lime

x0

D．limxx21 x8．下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（）

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A．2x1x0

sinxx0 B．xC．x2x2x1x2x133x

x21D．3sinx0 x1x9．下列变量在给定变化过程中是无穷大量的有（）

A．x

B．lgxx0

1xC．lgxx

10．当xa时,fx是(D.exax0

),则必有limxafx0.(C．有界函数)

D无穷大量 Ａ．任意函数 B．无穷小量 11．下列极限正确的是（）

A．lime

x01xB．lime0

x0xa1xC．lime

x01xD．lime1

x1x12．若limfx,limx,则必有

xaA．limfxgx

xaB．limfxgx0

xaC．limxa10

fxgxD．limkfxk为非零常数

xasinx2113．lim的值为(x1x1A．1 B．0 )

C．2

1D． 214．fx在点xx0处有定义,是fx在xx0处连续的(Ａ．必要条件 B．充分条件

C．充分必要条件)

D．无关的条件

15．当|x|1时,y1x2A．连续函数

C．有最大值与最小值

二、辨析题

()

B．是有界函数

D．有最大值无最小值

1．如果n无限增大时，数列an越来越接近常数A，那么an是否一定收敛于A？

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2．设在常数A的无论怎样小的ε邻域内都密集着数列an的无穷多个点，那么an是否一定收敛于A？

3．有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？ 4．单调数列是否一定收敛？摆动着的数列是否一定发散？

5．如果数列an和bn都发散，问anbn、anbn和an是否一定发散？ bn6．如果an收敛、bn发散，问anbn、anbn的收敛与发散情况能否确定？ 7．设x11,xn112xnn1,2,，在求limxn时，有人求解如下：设limxnA,nn对等式xn112xn，两边取极限，得A=1+2A，于是A=-1所以limxn1．有人指出，n这个结果是错误的．因为xn1n1,2,，故limxn1不可能的．请判断此题解法是

n否正确．若不正确，请指出错在哪里？

8．若limfxgx0,且当x时，g(x)有界，则limfx0，这一结论正确吗？xx为什么？

三、计算题

x2＋２1．limx２x32xhx24．limh0h8x317．lim21x6x5x12x22x52．limx1x21x215．limx2x2x2x26x88．lim2x4x5x411．limx22x13．limx1x21x2x6．lim4xx3x21

119.lim122xxx123n1nn2x214．limx2x1

11110．lim1nx224n1n2n312．limx5n33113．lim3x11x1xwww.daodoc.com

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15．lim2x3x1x16．limx2sin18．limsinωxx0xx021．limcotxet124．limt2t1x0xtan3x19．limx0x1cos2x22．limx0xsinx3πx417．limarctanxxxsin2x20．limx0sin5xx023．　limx22x526．limln2cos2xπx6

25．limsin2xsin2x27．limππxx2cos4x1128．limx0x31．lim2229．limx0x211x2 30．limx15x4xx11x32．limex3xxxx33．limnn1nn3x42n34．limxxsinxx135．limxxxxx

四、证明题

1．根据数列极限的定义证明． 1(1)lim20nn(4)lim0.99991nn个3n13(2)limn2n121x31(5)limx2x32n2a2(3)lim1a为常数nn

2．证明当x→0时函数f(x)=|x|的极限为零．

3．根据极限定义证明：当xx0时函数f(x)的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。

1111.4．证明:lim222xn2nnn1

参考答案

一、选择题

1．A，B，D 2．A，D 3．A，B，C，D 4．D 5．D 6．D 7．A 8．A，D 9．A，B，www.daodoc.com

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C，D 10．B，C 11．B，C，D 12．D 13．C 14．A 15．A，B，D

二、辨析题

1．an不一定收敛于A，问题主要发生在只说an越来越接近常数A，并没说明这种接近的程度如何．如果这种接近受到限制，虽然也可以说越来越接近，但却不能与A构成收敛的关系，只有当说an越来越无限接近常数A时，才表明an是收敛于A的．例如取111，A=-1，随着n无限增加，越来越接近-1，但它始终保持与-1有大于的差异，nn21-1并不能说成是当n→∞时的极限．

nan2．an不一定收敛于A．因为极限定义中要求对于A的无论怎样小的ε邻域，都存在正整数N，当n>N时，an将全部落入A的该ε邻域内．这里只说有无穷多个an中的点落入该邻域尚不能保证an中当n>N后的全部的点均落入该邻域．例如an11n1,A0,则零的无论怎样小的ε邻域内都密集着an的无穷多个点，但nan却是发散点．

3．有界数列不一定收敛．例如an11，它为有界数列，但它却是发散的．

n无界数列是一定发散的．因为如果它是收敛的，根据收敛的必要数列条件，它必须是有界的．

4．单调数列不一定收敛．例如取ann，该数列是单调递增的，但它是无界数列，因此一定是发散的．

摆动数列不一定是发散的．例如取annn1n是摆动数列，但它收敛于零．

n15．均不一定发散．例如当an1,bn1并且anbn,时，anbn0，它是收敛的，ann也是收敛的．当anbn1时，anbn0，它是收敛的． bn6．anbn是一定发散的．因为如果anbn收敛，而bnanbnan，则bn为两个收敛列的差，亦应收敛，这与假设矛盾；又因bn发散，因此bn也发散，而www.daodoc.com

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bnanbnan，如果anbn收敛，可得bn收敛，从而bn也收敛，这与已知矛盾．

anbn是收敛性不确定．例如取anan11,bnab，则收敛．又如取nnnnn21,bnn2，则anbnn发散．但当已知limanA0时,可知anbn发散．否

nn则,因bnanbn,由商的极限法则可得出bn收敛的结论,这与已知矛盾． ann7.错在“设limxnA”．因为xn的极限存在与否尚没指明时，先承认它是收敛的，这是不允许的．即对limxnA的理解应为它表示xn收敛且以A为极限．本题中的xn其n实是发散的，如果按趋向方式来说，它是趋向于+∞的．即可以将+∞作为极限记号使用时，得出A=1+2A还是正确的．因为它是含+∞的一种记号形式．但这样做也推不出A=-1的结论．

8．不正确．因若g(x)≡0，f(x)=x时，则得不出f(x)→0(x→∞)的结论．

三、计算题

x22421．lim6 x2x3232121542．原式lim2.2x12112x1x13．原式＝limlim0.x1x1x1x1x12hxh2x2

2x.h0h1121x.5．原式＝limx11222xx6．0 x4．原式＝lim2www.daodoc.com

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2x14x22x14x22x17．原式＝limlim6.112x13x13x1xx22x2x42.8．原式＝limx4x1x43１19．原式lim１＋lim222.xxxx11n122.10．原式＝limn112

n1n1.n21123112．原式＝lim111.5nnnn51xx21xx2313．原式＝limlim2x11x1xx2x1xxx111．原式lim2n2

limx1x21.2xx12x1x22114．因为lim2lim20，所以lim.xxxx2x1xx15．∞ 解法与上题同．

16．因为x→0时，x为无穷小量，而sin

2111,sin为有界变量，所以xxlimx2sinx010.x17．0 解法与上题同．

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ωsinωx令ωxtsintlimωω.x0t0ωxt3sin3x19．原式＝lim3.x03xcos3x5x22sin2x 20．原式＝lim.x02xsin5x55cosx21．原式＝limx1.x0sinx2sin2x22．原式lim2.x0xsinx18．原式＝lim23．原式＝limx0x12401245.e211124．原式＝21.22e25．1 ππ26．原式＝ln2cos2ln2cosln10.36π sin242.27．原式＝2π2cosπ428．原式＝limx01x1x11limxx11x01.1x12129．2 解法与上题同，先分母有理化。30．2 提示：先分子有理化．

31．原式＝lim2xx2xx2x2x lim

x11x11xx22lim1.x11211xxx32．1 n4n1n2n3n4n1n2limn1n3（分33．原式=limnnn4n1n2n4n1n2www.daodoc.com

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43212nn子、分母同除以n）=lim.n2111341nn34．0 提示：用无穷小量乘有界变量法．

1xxxxxxxx35．原式＝limxxxxx limxxxxxxxx/xxxxx/x1 limxx lim

x1x1

四、证明题 1．（1）要使

1131xx21.211112nn，只须即，于是对于任意的ε>0，取0n2n2nlim1，于是对任意给定的ε>0，取N11，只要n>N,就有0，所以2n10．

nn2（2）3n133n136n26n3111要使，，2n122n1222n1n2n12n1n只须113n131即n．于是对任意给定的ε>0，取N，只要n>N，就有，n2n123n13.n2n12所以lim（3）n2a21nn2a2na2a2,要使

22nnnnanwww.daodoc.com

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a2a2n2a2，于是对任意给定的ε>0，取N，只要n>N，就有1,只要nnn2a2n2a21.1,所以limnnn（4）|0.99991|n个111n10|0.99991|，要使，只要，即，nlgn10n个1于是对任意给定的ε>0（εN，就有|0.99991|，所以

n个nlim0.99991.n个（5）与前面（1）～（4）题证法相同．

2．要使||x|-0|=|x|=|x-0|0，存在δ=ε，只要0

x03．必要性：若limfxA则对于任意给定的ε>0，存在δ>0，只要0|xx0|，xx0就有|fxA|．特别地，在0x0x时，有|fxA|,limfxA；同样xx0地，在0xx0，有|fxA|,limfxA xx0充分性：若limfxAlimfx,则对任意给定的ε>0，存在1，只要xx0xx00x0x1，就有|fxA|，存在2，只要0x0x2，就有|fxA|，取min1,2，只要0xx0，就有|fxA|,limfxA.xx04．因为n2nnn1n2nnn1n1n1又limlim1,limlim1,22nnnn11nnn1112nn1111.所以lim1222nn2nnn1121212n2,www.daodoc.com

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