导数的应用4——构造函数证明数列不等式例题_导数应用之数列不等式

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导数的应用

（四）——构造函数证明数列不等式

例1（选讲或练习）：求证 1111+++…+ln(1n)234n1

例2．已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1

（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：

①ln(x1)nx2在（2，+）上恒成立

lnin(n1)(nN,n>1)(重点讲练)②i14i2反

例

3、设函数f(x)lnxpx1p0．

（I）求函数f(x)的极值点，并判断其为极大点还是极小值点；

ln22ln32lnn22n2n（II）证明：222(nN,n2).2(n1)23n（利用p=1时II的结论）．

例4已知函数f(x)1lnx,(x1)x（１）试判断函数f(x)的单调性，并说明理由； k恒成立，求实数k的取值范围； x12n2（３）求证： [(n1)!](n1)e,(nN).（２）若f(x)(阶乘本质是数列前n项积的问题，可先证两边取对数的式子，即化为前n项和的问题)

例5（选讲）、已知函数f(x)=xln(x+a)的最小值为0,其中a>0.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若对任意的x[0,+),有f(x)kx成立,求实数k的最小值;(Ⅲ)证明

例6（培优用）已知函数f(x)alnx1(a0).2n2i1ln(2n+1)

*i=124； x1（2）若对x(1,e)，f(x)x恒成立，求实数a的取值范围；（1）当a1且x1时，证明：f(x)3n11（3）当a时，证明：f(i)2(n1n1)．

2i2

例7(培优)

设f(x)的定义域为(0,),f(x)的导函数为f(x),且对任意正数x均有f(x)(Ⅰ)判断函数F(x)f(x)，xf(x)在(0,)上的单调性； x

(Ⅱ)设x1，x2(0,)，比较f(x1)f(x2)与f(x1x2)的大小，并证明你的结论；

*（Ⅲ）设x1，x2，xn(0,)，若n2，比较f(x1)f(x2)f(xn)与f(x1x2xn)的大小，并证明你的结论.例8(培优).已知函数f(x)是在(0,)上处处可导的函数,若xf'(x)f(x)在x0上恒成立.(I)求证：函数g(x)(II)当x1f(x)在(0,)上是增函数；

x0,x20时,证明:f(x1)f(x2)f(x1x2)；(可否推广？)

(III)构造函数证明

1111n2222ln2ln3ln4ln(n1)(nN*).22222(n1)(n2)234(n1)巩固练习：

1：求证

2：求证ln2ln3ln4lnn1(n>1)234nn2ln2ln3ln4lnn(n>1)n(n1)

3.先证明下面不等式，并构造相应数列不等式并加以证明:(1)ln(1x)x(x0)1x1x)x(x0)(2)ln(x1x)x(x0)