浅谈用放缩法证明不等式_不等式证明之放缩法

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淮南师范学院2012届本科毕业论文 1

目录

引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2）1.放缩法的常用技巧„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（3）

1.1 增减放缩法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（3）1.2 公式放缩法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5）1.3 利用函数的性质„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6）1.4 综合法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9）1.5 数列不等式的证明„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（11）2.放缩法要放缩得恰到好处„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12）

2.1 调整放缩量的大小„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12）2.2 限制放缩的项和次数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（13）2.3 将不等式的一边分组进行放缩„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（14）总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（16）致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（17）参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（18）

浅谈用放缩法证明不等式 2 浅谈用放缩法证明不等式

学生： 指导老师：

淮南师范学院数学与计算科学系

摘要：本文介绍了放缩法的基本概念, 在此基础上总结出增减放缩法、公式放缩法、利用函数的性质放缩和综合法等用放缩法证明不等式的常用技巧,以及数列不等式证明中放缩法的应用,并进而从三个方面阐述使用放缩法过程中如何使放缩适当的问题.这对证明不等式很有帮助。关键词：不等式;放缩法;技巧;适当

Proving the Inequity by Amplification and Minification

Student： Guide teacher：

Huainan Normal University Department of Mathematics

Abstract: This paper introduces the fundamental conception of the amplification and minification method.And on the basis of this, it sums up some commonly used skills: increasing or reducing some terms, using important inequality formula, using function properties, synthesis method, and the amplification method to demonstrate the sequence inequality.In addition, it describes how to make it appropriate in proving the inequality by the amplification and minification method from three aspects.They do much help to demonstrating inequality.Key words: inequality;amplification and minification;skill;appropriate

引 言

在证明不等式的过程中,我们的基本解题思路就是将不等式的一边通过若干次适当的恒等变形或不等变形(放大或缩小),根据等式的传递性①和不等式的传递性②逐步转化出另外一边.与等式的证明相比较,不等式的证明最大特色就是在变形过程中它有“不等的”变形,即对原式进行了“放大”或“缩小”.而这种对不等式进行不等变形,从而使不等式按同一方向变换,达到证明目的的特有技巧我们称之为放缩法.因其技巧性强,方法灵活多变,同学们一直较难掌握.想要很好的在不等式证明中运用放缩法,应当注意以下两点：掌握放缩法的一些常用策略和技巧；放缩法要放缩得恰到好处,才能达到证题的目的.本文着重就这两点举例加以说明.淮南师范学院2012届本科毕业论文 3放缩法的常用技巧

1.1 增减放缩法

1.1.1 增加（减去）不等式中的一些正（负）项

在不等式的证明中常常用增加（减去）一些正(负)项,从而使不等式一边的各项之和变大(小),从而达到证明的目的.例1 设a,b,c都是正数,abbcca1,求证：abc3.证明：abc2a2b2c22ab2bc2ca

12ab2bcca3abbcca

223abbcca3

33abc3,当且仅当abc时取等号.1.1.2 增大（减小）不等式一边的所有项

将不等式一边的各项都增大或减小,从而达到放缩的目的.例2[1](02年全国卷理科第21题)设数列an满足an1an2nan1,且ann2n1,2,3,,求证：

11a111a211a311an12

证明：由an1an2nan1,得：an1anann1, ann2,an12an1,1an121an0, 11an111121an11,于是有：

1a211a311a421a111,12221a21111a111a1, 21a3123，浅谈用放缩法证明不等式 4 „„, 11an1112n121an111a1,111a111a211a31an111112n12221a1111n2121111a1132

1.1.3 增大（减小）不等式一边的部分项

在不等式的证明中,有时候增大或减小不等式一边的所有项会造成放缩过度,因此,在考虑这些问题时要根据题目的具体情况进行部分项的放缩.例3 求证证明：1221321421n2n22nnN,,n2.1n21nn121nn1121n1n11 122133,1314,,n121n11n.把以上（n-2）个不等式相加,得 1221321421n12121nn22n

1221321n2142n22n1n121n2

n22n故原不等式成立.1.1.4 增大（减小）分子或分母的值

增大或减小不等式一边分数中分子或分母的值,从而达到放缩目的.淮南师范学院2012届本科毕业论文 5 例4 求证9112512n12114nN.*证明：12k12191252k121114k(k1)111k1, 4kk12n12 1111111 4223nn11111,4n14

19125114.

即

1.2 公式放缩法

2n12即利用已有的大家熟悉的不等式来进行放缩,这里我们主要利用的是均值不等式1以及abamam,a,b,mR,ab,下面分别举例说明.1.2.1 均值不等式

例5 若nN,n1,求证：n!*2n12n1.62n证明：12nn22212nn1622,而1222n2 故n1222nn 即n!216nn1n2

n12n1

nn12n16 .例6 已知:Sn1223nn1

n均值不等式： a1a2ana1a2ann,aiRi1,2,n.浅谈用放缩法证明不等式 6 求证:证明:nnn12Snn122.nnnn1nn12 Sn1223nn1

 32522n12 nn12n122 又Sn1223nn1

12n 1.2.2 abamam,a,b,mR,abnn12



a1ab1bc1c.例7[4] 若正数a,b,c满足abc,求证：证明：abc,abc0;

c1ccabc1cabca

1abb1aba1ab1b,即原不等式成立.1.3 利用函数的性质

主要指利用函数的单调性和有界性来进行放缩.1.3.1 利用特殊函数的单调性

这里的特殊函数主要指一些已知单调性的函数,如指数函数和对数函数等.例8 求证：log23log34.证明：我们先给出常规解法；

log23log34lg3lg2lg4lg32lg3lg2lg4lg2lg322,lg2lg4lg8lg92lg2lg4lg3,222淮南师范学院2012届本科毕业论文 7 log23log340,log23log34.另外,还有更简便的方法.log23log827log816log916log34.1.3.2 利用特殊函数的有界性

这里的特殊函数主要指一些大家熟知有界性的函数,如|sinx|1,|cosx|1,x20等.例9[5] 已知,为整数,并且,求证：

1sin21sin2sin222.证明： 0,0,,sin0,sin0,coscos1,1sin241sin22sinsin24coscos

1cossin22.(当且仅当时取等号).1.3.3 利用一般函数的性质

利用一般函数的单调性和有界性进行放缩.例10 求证a3时,证明：令fn1n11n11n21n213n113n12a5,nN.N,n1fn1fn213n213n33n41n1

3n13n23n40.fn1fn,fn是增函数,其最小值为f1,fnminf1

1213141312,浅谈用放缩法证明不等式 8 故对一切自然数,fn13121；

再由a3,知2a51,比较得： 当a3时,1n11n2xxa213n12a5,nN.例11 设定义在R上的函数fx的充要条件是a1.,求证：对任意的x,yR,|fxfy|1证明：利用求导数、均值不等式或判别式法均可求得：

fxmax12a,fxmin12a.根据fxmax1a12a,fxmin12a,得fxfy1a，即|fxfy|max 故对x,yR,1a|fxfy|1|fxfy|max1

1a1a1.例12 已知an1n1tn2t1,t[,2],Tn是an的前n2n项和

2求证:Tn2n2.证明:令ft1n1tn,则: 2tnn11n1 t2t ft令ft0,得t1.淮南师范学院2012届本科毕业论文 9 1 当2t1时, ft0；当1t2时, ft0;

12从而可知ft在[,1]上递减,在[1,2]上递增,故：

ftmaxmaxf,f22n2112n

ft2n即an2n12n12n ,n1,2,2n11112nTn2222222n11 211

22nn11n 21

22n1 22122n1

2 2n2n

1.4 综合法

对于比较复杂的不等式证明,有时需要综合以上两种放缩手法进行不止一次的放缩.例13(1985年高考题)证明：nn1n2[7]

nn12n1223nn1n122,nN

nn12 1223nn112n 而nn1nn12 ①

122232nn12 1223nn1

浅谈用放缩法证明不等式 10  32522n121232522n12 ②

12n1n122n122.在①中运用了增减放缩法,②运用了公式放缩法和增减放缩法.例14 数列an满足a11且an111n1 an2nnn21(Ⅰ)用数学归纳法证明an2n2；(Ⅱ)已知不等式ln1xx对x0成立.证明：(Ⅰ)用数学归纳法证明,略；(Ⅱ)用递推公式及(Ⅰ)的结论有 an11111a1an,n1 n2n2nnn2nn21 两边取对数并利用已知不等式得： lnan1ln11nn1nn1nn2221lnann212n

lnan

n lnan1lnan12,n1

上式从1到n1求和可得： lnan1lnan1121231nn11212212n1

11112231n12n111n11221n1n12

112

证明过程中分别运用了增减放缩法和利用特殊函数性质的放缩法.淮南师范学院2012届本科毕业论文 11 1.5 数列不等式的证明

在数列不等式的证明中,我们大量采用放缩法,在这里我们把它单独提出来说明.而这里的数列主要指“叠加”模型的数列不等式,可以利用放缩法对叠加的数列进行化简,从而达到证明的目的.这里“叠加”模型指的是形如：a1a2anfn,这里的也可以是、或.例15 已知n2,nN,证明

1221321n2n1n

证明：12211213211112；

1213

23；

„„ 1n21nn11n11n；

各式相加,得：

1221321n211nn1n*

例16 若Sn112131n,nN

求证：2n11Sn2n

证明：1k2k1kk2k2kkk12kk1

 又2kk12k1k

 当k1,2,3,,n1,n时, 221 232 „„

1112210

221



浅谈用放缩法证明不等式 12 2nn1 2n1n1n11n22n1n2

nn1

 将上式相加,得到：2n11Sn2n.在数列不等式的放缩中,放缩的主要目的是使不等式裂项相消,也可以组成等差、等比数列,利用公式求和,或者运用根式有理化后的放缩,探索n项相加的递推式,然后逐项相消.放缩法要放缩得恰到好处

2.1 调整放缩量的大小

放缩量的大小,即放缩的“精确度”,直接影响到是否能达到欲证明的目标.放大多少,缩小多少,把握“度”的火候,要因题适宜.例17 已知Sn1(Ⅰ)Sn12131n,求证：

n；

(Ⅱ)Sn2n11；(Ⅲ)Sn2n.证明：(Ⅰ)Sn11n12131n

1n 1n1nnn；

(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,为此需调整放缩幅度, 1k22k22kk1k1

12k,k1,2,3,,n

 Sn1131n

淮南师范学院2012届本科毕业论文 13

22212322n1n

n11.(Ⅲ)改变放缩方向,故 1k22k22kk1

kk1,k1,2,3,,n

 Sn12212131n2

10212nn1

n.1n!2；(Ⅱ)

11!12!1n!74,nN.例18 求证(Ⅰ)1!112!证明：(Ⅰ)1n!1nn1n22112n112221

n3 12!21n1 左边1 212212312n1

(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,将放缩间距调整小些,得到：

1n!1nn1n221123n2133321

n14 13!12 则左边123717 n2412342!1233123n2

2.2 限制放缩的项和次数

若对不等式中的每一项都进行放缩,很可能造成放得过大或缩得太小,若限制放缩

浅谈用放缩法证明不等式 14 的项,保留一些特定项不变,可以通过这样来调整放缩的“度”,逼近欲证明的目标,这与第一部分的1.1.3也是相通的.例19 求证1121221n261361nn3,nN.*证明：这是一个常见问题的改编题,我们先给出一般算法： 1121221n21121121n1231n1n

2 由21n61361n,显然放得过大,要减少放大的项；

先试试减少一项： 1121221n21121221231341n1n

1  由 112111111142334n1n1n

74

741n61361n.再试试减少两项：

1121221n21221321341n1n

61361n

如此可得出,放缩时减少两项可以得到欲证目标.2.3 将不等式的一边分组进行放缩

把不等式的一边进行分组,将有关联的项放在一起进行放缩,不仅可以减少放缩的项,还可以有效地控制放缩的“度”,减少误差,并且更有方向性,尽量避免放缩的盲目性和随意性.例20 已知数列的通项公式是

an32

nn(Ⅰ)求证：当k为奇数时,1ak1ak143k1；

淮南师范学院2012届本科毕业论文 15(Ⅱ)求证：1a11a21an12nN.*证明：(Ⅰ)略

(Ⅱ)当n为偶数时, 1a11a21an11aa214321111 aaaa4n3n16  4344343n

1111n2321an11a2

当n为奇数时,因为1a11a21an1a10,则：

1an1an1

 11 a1a24321111aaa4an13n43n1434436

1213141111n12321210

例21 求证5证明：由于121312141215121610

21； 17141414141441；

„„ „„

1210129121912101111921； 99992222291 由1,将上面的不等式两边相加,得到：

12121312141210

10

又由于；

浅谈用放缩法证明不等式 16 3114161417141814182181218；

1818412 51；

„„ „„

12191229121011 101010222291 将上面的不等式两边相加,得到：

12131412121012102912；

5131；

1210 于是,综上得到5

410.总 结

综上可知,放缩法的技巧千变万化,灵活多样.而事实上,放缩法贯穿于整个不等式的证明过程中,不等式证明的每一步几乎都与“放”与“缩”密切相关.在证明的过程中要注意几点：

(1)在放缩过程中不等号的方向必须一致；

(2)运算时要注意总结规律,有些不等式用特定的放缩方法可以使计算简便,而有些不等式可以用很多种方法解决；

(3)不等式的放缩法在不等式的证明中应用广泛,但是遇到具体题目时不能生搬硬套,必须根据实际情况考虑是用什么方法.另外,用放缩法证明不等式关键就是“度”的把握,如果放得过大或太小就会导致解题失败,而如果放缩不适当要学会调整,一些实用的技巧可以帮助我们把握放缩中的“度”,而具体怎样放缩才适度,需要我们在解题过程中去体会.放缩法有着高度的灵活性和极强的技巧性,放缩方法更是多种多样,要能恰到好处的想到具体解题中的放缩方法,需要积累一定的不等式知识,同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧.淮南师范学院2012届本科毕业论文 17 致谢

感谢我的导师，她在我的论文写作过程中倾注了大量心血，从选题开始到开题报告，从写作提纲到一遍遍的指出稿中的具体问题，每一个工作她都做得那么的细致认真，她的严谨的态度和工作风深深的感动着每一个了解她的人。我还要感谢我的许多同学，他们在我的论文写作中给予了大量的支持和帮助，同学都对我的论文格式和内同的修改给予了大量的帮助，在此我也深深的感谢他们，同时我还要感谢在我大学学习期间给我极大关心和支持的各位老师同学还有朋友，感谢你们！感谢老师！

参考文献：

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