利用拉格朗日中值定理证明琴生不等式的一种形式_琴生不等式证明方法

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利用拉格朗日中值定理证明琴生不等式的一种形式

对于定义域为(a,b)的一个凸函数其二阶导数小于0，利用拉格朗日中值定理证明对于任意n≥2且x1,x2,x3„„xn∈(a,b)和正数a1,a2,a3„„an且a1+a2+a3+„„+an=1均满足f(a1x1+a2x2+a3x3+„„anxn)>a1f(x1)+a2f(x2)+„„+anf(xn)

图见下一页

传说这个可以改编成高考题哦~~ 且看原题（2012韶关二模理数最后一题）请注意：一下所有“L”为省略号

21．(本小题满分14分)已知函数f(x)ln(x1)mx，当x0时，函数f(x)取得极大值.（１）求实数m的值；

（２）已知结论：若函数f(x)ln(x1)mx在区间(a,b)内导数都存在，且a1，则存在x0(a,b)，使得f(x0)f(b)f(a)f(x1)f(x2).试用这个结论证明：若1x1x2，函数g(x)(xx1)f(x1)，则对任bax1x2意x(x1,x2)，都有f(x)g(x)；

（３）已知正数1,2,L,n，满足12Ln1，求证：当n2，nN时，对任意大于1，且互不相等的实数x1,x2,L,xn，都有f(1x12x2Lnxn)

1f(x1)2f(x2)Lnf(xn).参考答案和评分标准

21．(本题满分14分)解：（１）f(x)1xm.由f(0)0，得m1，此时f(x).x1x1当x(1,0)时，f(x)0，函数f(x)在区间(1,0)上单调递增； 当x(0,)时，f(x)0，函数f(x)在区间(0,)上单调递减.函数f(x)在x0处取得极大值，故m1.„„„„„„„„„„3分

（２）令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x1)f(x2)(xx1)f(x1)，„„„„„„„4分

x1x2则h(x)f(x)f(x1)f(x2).x1x2Q函数f(x)在x(x1,x2)上可导，存在x0(x1,x2)，使得f(x0)f(x1)f(x2).x1x2Qf(x)1x0x111，h(x)f(x)f(x0) x1x1x01(x1)(x01)Q当x(x1,x0)时，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(x1)0； Q当x(x0,x2)时，h(x)0，h(x)单调递减，h(x)h(x2)0；

故对任意x(x1,x2)，都有f(x)g(x).„„„„„„„„„„8分（３）用数学归纳法证明.①当n2时，Q121，且10，20，1x12x2(x1,x2)，由（Ⅱ）得f(x)g(x)，即

f(1x12x2)f(x1)f(x2)(1x12x2x1)f(x1)1f(x1)2f(x2)，x1x2当n2时，结论成立.„„„„„„„„„„9分

②假设当n(kk2k2时

1结论成立，即当

12Lk1时，f(1x1Lx2k)x(f)Lx(12k1.当正数1,2,L,k1满足fk)xn(时，f)设xk12Lk11，令m12Lk，11m,22m,L,kkm，则mk1n1，且12Lk1.f(1x12x2Lkxkk1xk1)f[m(1x1Lkxk)k1xk1] mf(1x1Lkxk)k1f(xk1)m1f(x1)Lmkf(xk)k1f(xk1)

1f(x1)Lkf(xk)k1f(xk1)

„„„„„„„„„„13分

当nk1时，结论也成立.综上由①②，对任意n2，nN，结论恒成立.„„„„„„„„„„14分