AG不等式的证明及其推广_几个重要不等式的证明

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平均不等式

AG不等式：

1.中学里面我们称之为基本不等式：

（1）ab

（2）ab（a,b0）2ab0（a,b同号）ba

2（3）a+b22ab（a,b为实数）

1n2.推广：设a=(a1,…，an)，ak0，1kn，则An(a)=ak称为a1，…，an的算术

nk1平均值，Gn(a)=na1a2an称为a1,…，an的几何平均值

Gn(a)An(a)，即na1a2ana1a2an

n

称为AG不等式，当且仅当a1=a1=…=an时等号成立.AG不等式是最重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或者将积的形式放大为和的形式，因而这可以叙述成两个等价的共轭命题：

（1）其和为S的n个正数之积，在这些数都相等的时候最大，最大值为(S/n)n.（2）其积为的n个正数之和，在这些数都相等的时候最小，最小值为n2.因此AG不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定表面积的所有长方体中，正方体具有最大的体积；而给定体积的所有长方体中，正方体具有最小的表面积等.3.加权形式的AG不等式：

nnGn(a,q)An(a,q)，式中Gn(a,q)=（ak）^qk，An(a,q)=qkak，qk0，qk1，k1k1k1n通过对数变换可以将这两种平均联系起来，记lna=(lna1,…，lnan)，则lnGn(a,q)lnAn(a,q)，即正数a1，…，an的加权几何平均Gn(a,q)的对数等于a1，…，an的对数lna1,…，lnan的加权算术平均.同时，对于加权形式的AG不等式的进一步推广是：设ajk>0，qk>0，且mnnmqk1nk1，则

((aij)^qk)(ajk)^qk，当且仅当j1k1k1j1aj1mj1j1=

aj2mj2j1=…=

ajnaaaj1m，（j=1,…，m）

jn时等号成立.4.关于AG不等式的证明：

这里面介绍的是几个典型的、简洁的和新的精彩的证明方法，为了叙述方便，下面将a1a2an记为Gn(a)An(a)，并设a1，…，an是不全相等的正

na1a2an数（因为a1=a1=…=an时，等号成立），与na1a2an等价的是：

nna1a2an

若ak1nnk1，则akn;

k1nn

若ak1，则ak(k1k11n).na1a2an成立，容易推出n=2k的n+1821年Cauchy用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明：

第一步：假设n=k时，na1a2an时候该式也成立：

a1a2k2k=12（a1a2akkak1ak2a2kk）

12[(a1ak)1/k+(ak1a2k)1/k](a1akak1a2k)1/2k

由此推出n=2时，na1a2anmm

a1a2an成立.nm第二步：设n2，则比存在rN，使得n+r=2.An(nr)An(a1an)(AnAn)[a1anAnAn]1/(n+r)（有r个An连nrnr乘）=[Gn^nAn^r]1/(n+r).即Ann+rGnnAnr.从而AnGn.另外一种思路是从An1Gn1推出AnGn成立，事实上

nAnAna1anAna1a2anAn1/(n+1)，即Ann+1a1anAn，从而n1n1Anna1an=Gnn，即AnGn.An

同时也可以用数学归纳法来证明下式的成立

ak1nk1，则akn

k1n证明如下：n=1时，命题显然为真.假设n1时，命题为真，当n1时，若所有的xk1，则其和等于n1，不然不妨设x11,xn11（对若干个xi进行一个排列，把最小的重新定为x1，最大的定为xn1），我们记yx1xn1，这时便有x2x3xny1，由于归纳假设

x2x3xnyn ①

另外，x1xn1yx1xn1x1xn1(1x1)1xn11

②

①+②得，x1xn1n1，因而对n1的情况也成立，证毕！(Ehlers,1954)

教材大多采用的是利用函数的凹凸性去证明，这里我们直接证明加权平均不等式，AG不等式只是其中的一种特殊情形。下证明：Gn(a,q)An(a,q)，式中

Gn(a,q)=（ak）^qk，An(a,q)=qkak，qk0，k1k1nnqk1nk1，证明：注意到如果ak中有等于0时，不等式自然成立，现在只需要考虑ak都是正数的情况.因为指数函数e^xexp(x)为严格的上凸函数，所以我们有：

nnn(ak)^qk=expklnakkexp[lnak]kak，当且仅当ak都相等k1k1k1k1n的时候成立。

这时候我们再令k1,k1,2,n时，该式子就是非负的几何平均数不大于n算术平均数（AG不等式）

还可以利用Young不等式：a1/p

b1/q1/pa1/qb，1/p1/q1,1p，得到

an11/n·An1(1-1/n)111An1 nan1n111An1.nan1n1/2n记Gan11/n·An1(1-1/n)，A则An1AnAAnAGnGGn1^(n1)An1^(n1)2，即An1Gn1.证毕！（Diananda）

补充说明的是young不等式的证明： Young不等式（p-q不等式）：设p,q0,111，则当1p时，成立 pq11p|ab||a|q|b|q；当0p1的时候，不等式反向，当且仅当|b||a|p-1的时候p等号成立.证明这个不等式的方法有许多，这里只给出四种证明的方法：

①代数方法：利用Bernoulli不等式：x0,01.(x)^1x1.再取q

1,xbq/ap.(Bernoulli不等式的证明很容易，只需要用数学归纳法即可证明，这里不再去证明)

②微分法：固定x0,求一元函数

y1x^p1y^qxy在[0,)上的极值，在pq1）时取到最小值.即yy00.q1y0x0^（式中

③积分法：设yx是[0,a]上严格递增的连续函数，比较面积得 ab，xdxydy,a,b0（这里的和函数互为反函数）

00ab然后我们取xxp-1即可证得！

④考虑二元函数

f(x,y) xyx1/py1/q 在凸域D{x,y:x,y0}上的凸性.pqLagrange乘数法：求fxnx1xn在条件x1xna下的最大值，作辅助函数Fxx1xn1/n+(x1xna).F对xk求偏导数F'xk0，得出

fxnkxk,k1,,n.即

对k求和，得到nfxnx1xnna.即

f(x)a.由以上两个式子，我们可以得到

xkaaa.于是f在,,点取得最大值nnnna1aaa即nx1xnx1xn.，nnnnn

再补充利用四个个不等式去证明的方法： 利用不等式expx1x，得出

nnakakakGn1exp(0)exp{n}exp{1}n.AnAnk1Ank1k1Ann利用不等式exp(x)xexe，即xelnx.于是

akelnak,k1,,n.我们可以选择权系数q(q1,,qn),qk0,且

qk1nk1,使得

Gn(a,q)(ak)^qke.k1n于是从akelnak,k1,,n.式子对k求和，得到

nnqkakeqklnakelnak^qkeak^qk，这就是加权平均不等式.k1k1k1k1nn

利用不等式lnxx1x0,得到logakAkak1,对k求和得到，AknaknGnnakGnakk1即loglog^nnlog()0.从而我们log()n0,AnAnAnk1k1AnAn得到

利用不等式 x[n(x)^(n1)]n1,x0.logGnGn0,即1.证毕！AnAna2ana11/(n-1)na1n-1，取x()，则从不等式上方的不等式得到Ann1An对上式逐次使用不等式得到：An（Akerberg,B.1963）

n

a3ana1a2n-2a1a2an(Gn)n.证毕！

n2

5.深度的推广

我们通过加权平均不等式来证明：设aik0,k1,n,i0,i1,,m,m1.ii1mmn则有不等式aik^iaik^i

k1i1i1k1n证明：当上述右边等于0时，显然左边也等于0.我们考虑右边不为0的情况，利用加权平均不等式，得：

mnaik^iaikmnnnmmaikaikk1i1^iik1i1innmnnk1i1k1i1i1i1aikaikaikaik^ik1k1k1i1k1n

当且仅当m个向量ai1,,ain，i1,,m.成比例时成立.证毕！特殊的情况：

当m2,a1kxkp，a2k(yk)q，111,2,121时，这就是 Hölder不等式，pq n1/pn1/q

+xkykxk^pyk^qk1k1k1n上式中当且仅当向量(x1)^p,,(xn)^p与向量(y1)^q,,(yn)^q成比例时等号成立.再对上式中取n2,pq2时就得到Cauchy不等式.当且仅当x1,,xn和向量y1,,yn成比例时等号成立.当然还能推导得到Minkowski不等式，这里由于篇幅有限，不再叙述，请感兴趣的读者参考其他书籍！