克莱姆法则的一个简易证明_克莱姆法则及证明

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克莱姆法则的一个简易证明

(学员作业)范崇金(哈尔滨工程大学理学院)

在线性代数教学中, 一般是通过解二元和三元线性方程组引入行列式;又为了完整和扣题, 是通过介绍克莱姆法则结束行列式教学的, 尽管在后面我们可以用逆阵的理论轻松地得到克莱姆法则.由于此时, 我们还没有建立完整的线性方程组解的理论, 故一般我们是分解的存在性和唯一性两部分来证明克莱姆法则, 结果是讲的费劲, 学的迷惑.特别是, 此刻只能指出(方程与未知数个数相同的)齐次方程的系数行列式为零是此方程组有非零解的必要条件, 很难说明充分性也成立.在本文中, 我们用消元法轻松、自然地给出一个有关线性方程组的基本引理.用此引理, 我们又可以轻松地证明克莱姆法则及齐次方程组有非零解的充要条件.虽然我们多加了一个引理, 但此引理突显的是消元法, 而这也是线性代数中理应强调的.引理线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1

a21x1a22x2a2nxnb2

(a)



axaxaxb

n22nnnnn11

可以通过消元变换(将一方程的k倍加到另一个上)变为同解方程组

b11x1b12x2b1nxnc1



b22x2b2nxnc2

(b)



bxc

nnnn

.证明首先, 通过消元法我们证明方程组(a)可化为下列形式的同解方程组

b11x1b12x2b1nxnc1



b22x2b2nxnc2

(c).bn2x2bnnxncn

(1)若a110, 用i1乘第1个方程加到第i方程上, 方程组(a)就可以化为方程组(c)的形式;

a

(2)若a110, 但某个ai10(i1), 则先将第i个方程加到第1个方程上, 再进行按上面的方法进行;

(3)若a11an10, 结论成立.对于方程组(c)的后n1个方程再进行同样的处理即知本引理成立.克莱姆法则 若线性方程组(a)的系数行列式D|aij|n0, 则此方程组有唯一的一组解

x1

D1D,x2

D2D,,xn

DnD,这里Di是将D中的第i列a1i,,ani换成b1,,bn得到的行列式.证明由上述引理, 方程组(a)与(b)同解, 且它们的系数行列式相等, 即b11bnnD0.再对方程组(b)从下向上逐步消元知, 方程组(a)与

a1x1d1

a2x2d2

(c)



axd

nnn

同解, 且Da1an0.再由行列式的性质, 我们还有

d1

D1

d2dn

a2



an

d1a2an

a1

d1d2dn



an

a1d2an,D2,......,a1

d1



an1

dn1dn

a1an1dn

Dn

.于是

x1

d1d2D2dnDnD

1,x2,,xn.12nDDD

定理齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0

a21x1a22x2a2nxn0

(d)



an1x1an2x2annxn0

有非零解系数行列式|aij|n0.证明()设齐次方程组(d)有非零解, 我们用反证法来证实|aij|n0.假设|aij|n0, 由克莱姆法则知此方程组有唯一一组解;又因为齐次方程组一定有零解, 故方程组(d)无非零解.这与开始的假设矛盾.()此时, 以|aij|n0为已知条件, 来证明方程组(5)有非零解.由引理知, 方程组(d)与方程组

b11x1b12x2b1nxn0

b22x2b2nxn0

(e)



bx0

nnn

同解, 且b11bnn|aij|n0.此刻, 至少有一个bii0.设b11,,bnn中第一个为0的是bkk.现在,取xk1,xk1xn0代入方程组(e), 方程组(e)化为

b11x1b12x2b1,k1xk1d1bxbxd22222,k1k1

(f).bk1,k1xk1dk1

此时, 方程组(f)的系数行列式等于b11bk1,k10.由克莱姆法则, 此方程组有唯一一组解.此解与

xk1,xk1xn0拼起来就是方程组(d)的一组非零解.