牛方不等式的证明方法.doc_不等式的证明方法

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不等式的证明方法

牛方

摘要:本文从微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、函数的凸性、等高等数学的层面对不等式证明方法进行归纳并列举相关实例加以说明。关键词: 微分中值定理 泰勒公式 函数的单调性 凸函数

Inequality proof method

Niufang Abstract: This article from the mid-value theorem, Taylor formula, monotonicity of functions, function as the convexity, higher mathematics the facets of inequality proof method summarized.Key words: The mid-value theorems Taylor formula monotonicity of functions convex function

前言

不等式证明的基本方法很多，例如有比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法，但是有关不等式证明的高等数学的方法的研究一直缺乏系统归纳。本文从微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、函数的凸性、等高等数学的层面对不等式证明方法进行归纳等式证明方法进行归纳。利用微分中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理

[1]：在闭区间a,b上连续；在开区间a,b内可导。则在a,b内至少存在一点ab，使得fbfafba。

柯西中值定理[1]：在闭区间

a,b上连续；在开区间a,b内可导；在a,b 内每一点处gx0，则在a,b内至少存在一点ab，使得：

f(a)f(b)f()

g(a)g(b)g()利用微分中值定理证明不等式的基本思想：根据所要证明的特点，作出相 1

应的辅助函数f(x)，而所作的辅助函数应满足拉格朗日定理或柯西中值定理条件，就可以得到满足拉格朗日定理或柯西中值定理条件的一点，即也得到相应f()的表达式，然后再对其进行放大或放小，这样就可证明不等式。

例1[2] 设0ab，证明不等式

2alnblna1 22baabab分析：构造辅助函数，运用拉格朗日中值定理

证明：先证明不等式的左边，设f(x)lnx(bxa0)，因为f(x)lnx，在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，所以根据拉格朗日中值定理得: lnblna1(lnx)|x，ab

ba112a2，（注意到a2b22ab）2bab2alnblna 22baab再证明不等式的右边.设(x)xaaxlnxlna,bxa0,则(a)0，11a1(xa)2()0 且(x)xa2x2xax2xax由(x)0(x)单调递增当xa0时，(x)(a)0 特别地，令xb，则有(b)0，即lnblnaba1ab，所以原不等式成立。

例2[2] 设f(x)、g(x)在闭区间[a,x]上连续，在开区间(a,x)上可导，且|f(x)|g(x)。

证明：当xa时，|f(x)f(a)|g(x)g(a)。

分析：根据函数单调性和柯西中值定理 证明：因为g(x)|f(x)|0，故g(x)单调增加

所以当xa时，g(x)g(a)，即g(x)g(a)0，由f(x)、g(x)在闭区间[a,x]

上连续，在开区间(a,x)上可导，且对区间(a,x)内的每一点都有(x)0，由柯西中值定理得：

f(x)f(a)f()，(a,x)g(x)g(a)g()从而得：

|f(x)f(a)||f()|1|f(x)f(a)|g(x)g(a)，(a,x)

g(x)g(a)g()故原不等式成立。泰勒公式证明不等式

2.1 泰勒公式的内容

泰勒公式[1] 如果函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内有直到n1阶导数，则对任一点x0(a,b)，有：

f(x0)(xx0)2f(n)(x0)(xx0)(n)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)2!n!(n1)n1f()(xx0)(n1)!其中是x0与x之间的某个数，上式称为f(x)按(xx0)的冪展开的n1阶泰勒公式。

下面就泰勒公式展开点x0(a,b)的不同情况来证明不等式。2.2 展开点x0选取区间的中点情况[3]

证明思想：选区间中点展开是较常见的一种情况，然后在泰勒公式中取x为适当的值，通过两式相加，并对某些项进行放缩，便可将多余的项去掉而得所要的不等式。

例1 设函数f(x)在区间(a,b)上有二阶连续导函数且f(x)0，试证：对于(a,b)内的任意2个不同点x1和x2有

xx2f(x1)f(x2)。f122证明：将f(x)在x0x1x2处展开，得 2f()(xx0)2 2!f(x)f(x0)f(x0)(xx0)其中是x0与x之间的某个数。上式中分别取xx1及x2，f(x1)f(x0)f(x0)(x1x0)f(1)(x1x0)2,1(x1,x0)2!f(2)(x2x0)2,2(x0,x2)2!f(x2)f(x0)f(x0)(x2x0)上面两式相加，得：

f(x1)f(x2)2f(x0)f(1)f(2)(x1x0)2(x2x0)2 2!2!因为f(x)0，所以f(x1)f(x2)2f(x0)，即

f(x1x2f(x1)f(x2)) 22若把题目中的条件f(x)0改为f(x)0，而其余的条件不变，则结论改为

x1x2f(x1)f(x2)f() 22

ab例2 设函数f(x)在区间(a,b)上有二阶连续导函数，且f0，证明

2|baM(ba)3f(x)dx|，其中Mmax|f(x)|。

axb24ab处展开，得 2f()(xx0)2 2!证明： 将f(x)在x0f(x)f(x0)f(x0)(xx0)其中是x0与x之间的某个数。

因为f(ab)0，所以有 2f(x)f(x0)(xx0)f()(xx0)2 2!上式在[a,b]作定积分，然后取绝对值

|f(x)dx||[f(x0)(xx0)ab1b|2af()(xx0)2]dx|a2!

bMM2f()(xx0)2dx|(xx)dx(ba)302a24b即

|(xx0)2dx|abM(ba)3 242.3 展开点选取区间端点的情况[4]

证明思想：当条件中出现f(a)f(b)0，而欲证式中出现f(a)，f(b)，f()，展开点常选为区间两端点a，b，然后在泰勒公式中取x为适当的值，消去多余的项，可得待证的不等式。

例1 函数f(x)在区间[a,b]上二价可导，且f(a)f(b)0，证明：在(a,b)内至少存在一点使得

|f()|4|f(b)f(a)| 2(ba)证明：将f(x)分别在a及b处展开，得

f(x)f(a)f(a)(xa)f(1)(xa)2，1(a,x)，2!f(2)(xb)2，2(x,b)，2!f(x)f(b)f(b)(xb)上式中取xab，得： 2f(abbaf(1)ba2)f(a)f(a)()，222!2abbaf(2)ba2)f(b)f(b)()，222!25 f（上面两式相减，并且f(a)f(b)0，得：

(ba)2(ba)2|f(b)f(a)||f(2)f(1)|(|f(2)||f(1)|)

88记|f()|max{|f(2)|,|f(1)|}，其中1或2。于是有

(ba)2|f(b)f(a)||f()|,4即|f()|4|f(b)f(a)|。2(ba)2.4 展开点选取函数的极值点或最值点的情况[5]

证明思想：当题中不等式出现函数的极值或最值项, 展开点常选为该函数的极值点或最值点。

例1 设函数f(x)在区间(a,b)内二价可导，且存在极值f(c)及点p(a,b)，使得f(c)f(p)0，试证明：至少存在一点(a,b)，使得f(c)f()0。

证明：将f(x)在x0c处展开，得

f(x)f(c)f(c)(xc)f()(xc)2，(a,x)2!上式取xp，并且f(c)0，得：

f(p)f(c)f()(pc)2，(c,p)。2!两边同乘以f(c)，得：

f(c)f(p)f2(c)f()f(c)(pc)2，2!因为f(c)f(p)0，所以有f(c)f()0。

例2 设函数f(x)在区间[a,b]上有连续的二价导数，且f(a)f(b)0，试证明：

x[a,b]max|f(x)|8max|f(x)| 2x[a,b](ba)x[a,b]证明 设f(x0)max|f(x)|，若f(x0)0，则有

x[a,b]max|f(x)|8|f(x0)|0max|f(x)|0，结论成立。2x[a,b](ba)下设f(x0)0，于是x0(a,b)，且有f(x0)0，将f(x)在x0处展开得：

f()(xx0)2，(x0,x)，2!f()(xx0)2，即 f(x)f(x0)2!f()(xx0)2 于是有 f(x0)f(x)2!ab)时，上式取xa，得： ⅰ）x0(a,2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)|f(x0)|f()2!(ba)2(ax0)|f()|，(a,x0)，82即 |f()|ⅱ)当x0(8|f(x0)|，(a,x0)。2(ba)ab,b)时，上式取xb，得： 2f()(ba)22|f(x0)|(bx0)|f()|，(x0,b)

2!8即 |f()|8|f(x0)|，(x0,b)。2(ba)由ⅰ)及ⅱ)得，存在(a,b)，使得：

|f()|8max|f(x)|，2x[a,b](ba)又因为函数f(x)在区间[a,b]上有连续的二价导数，所以二阶导函数f(x)在区间[a,b]上连续，有连续函数的性质得：

max|f(x)|8max|f(x)| 2x[a,b](ba)x[a,b]2.5 展开点x0选取区间内任意点的情况[6]

当题中结论考察f(x)，f(x)，f(x)的关系时，展开点常选为该区间内 任意点, 然后在泰勒公式中取x为适当的值，并对某些项作放缩处理，得所要的不等式。

例1[7] 设函数f(x)在区间[a,b]上有二价可导，且|f(x)|A，|f(x)|B，其中A，B为非负常数，证明：|f()|2AB(ba)，其中x(a,b)。ba2证明:将函数f(x)在x(a,b)处展开得：

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f()(xx0)2，(x0,x)2!上式中分别取xa及b得：

f(a)f(x0)f(x0)(ax0)f(1)(ax0)2，1(a,x0)。2!f(2)(bx0)2，2(x0,b)。2!f(b)f(x0)f(x0)(bx0)上面两式相减，得：

1f(b)f(a)f(x0)(ba)[f(2)(bx0)2f(1)(ax0)2]，2即

f(x0)f(b)f(a)1[f(2)(bx0)2f(1)(ax0)2]，(ba)2(ba)故|f(x0)|11(|f(b)||f(a)|)[|f(2)|(bx0)2|f(1)|(ax0)2] ba2(ba)2AB[(bx0)2(ax0)2]，ba2(ba)2AB(ba)，再由x0的任意性，ba2即 |f(x0)|

故有 |f(x0)|例2 [8]2AB(ba)，其中x(a,b)。ba2设函数f(x)在区间[a,b]上有二价可导，且f(a)f(b)0，Mmax|f(x)|，试证明：|x[a,b]baM(ba)3f(x)dx|。

12证明:将f(x)在t[a,b]处展开得：

f(x)f(t)f(t)(xt)f()(xt)2，(t,x)，2!上式中分别取xa及b得：

f(a)f(t)f(t)(at)f(1)(at)2，1(a,t)，2!f(2)(bt)2，2(t,b)，2!f(b)f(t)f(t)(bt)上面两式相加得：

f(t)11f(t)(ba2t)[f(1)(at)2f(2)(bt)2 24上式两端在[a,b]上对t作积分得：

ba1b1bf(x)dxf(t)(ba2t)dt[f(1)(at)2f(2)(bt)2]dt 2a4ab1bf(t)dt[f(1)(at)2f(2)(bt)2]dt，a4ab于是有

由上式得： a1bf(x)dx[f(1)(at)2f(2)(bt)2]dt，8abb1b|f(x)dx|(|f(1)(at)2dt||f(2)(bt)2dt|)aa8abbMM(ba)322(|(at)dt||(bt)dt|)，aa812即得：

|baM(ba)3f(x)dx|

利用函数单调性证明积分不等式

3.1 利用被积函数的单调性

证明方法根据——定积分性质之一：设f(x)与g(x)为定义在[a,b]上的两个

可积函数，若f(x)g(x)，x[a,b]，则f(x)dxabbag(x)dx。

例1 设f(x)为[0,1]上的非负单调递减函数，证明：对于01，有

0f(x)dxbaf(x)dx

证明:由的单调递减性得： 若0x1，有f(x)f()所以

同理得： 0f(x)dxf()dxf()（1）

0baf(x)dxf()dx（2）

ab由（1）（2）得：

10f(x)dxf()1baf(x)dx（3）

()将（3）式两边同乘以，有

1()()()1b0f(x)dxf()af(x)dx，整理得：

()因为()0()f(x)dxf()baf(x)dx，11，所以f(x)dx0baf(x)dx

例1 试证明cosx1x20dx1sinx1x20dx

证明:不等式两边的积分是无界反常积分，在两边的积分中分别作变量变换tarccosx与tarcsinx，原不等式化为02cos(sint)dt02sin(cost)dt，欲证不等

t(0,)，而cos(sint)sin(sint)，因为式，只需证明cos(sint)sin(cost)，22

t(0,)时，0cost)，0sint，而函数ysint在(0,)上严格22222调调递增，于是只要证明当t(0,)时，有costsint或costsint，当

222t(0,)时，costsint2sin(t)2，于是得：

22222(sint)cost0，再由函数的单调性得：

cos(sint)sin(2sint)sin(cost)

所以得：

所以推出

20cos(sint)dt120sin(cost)dt

原不等式得证。

1cosx1x20dxsinx1x20dx，3.2 利用辅助函数的单调性

证明方法根据———变微积分学基本定理和可导函数的 一阶导数符号与单调性关系定理：

微积分学基本定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则由变动 上限积分(x)f(x)dt，x[a,b]，定义的函数(x)在[a,b]上可

x导，而且(x)f(x)，也就是说，函数(x)是被积函数f(x)在[a,b] 上的一个原函数。

可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理：设函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，如果在(a,b)内f(x)0（或f(x)0），那么f(x)在[a,b]上单调增加（或单调减少）。

证明的一般过程：

（1）构造辅助函数f(x)，取定闭区间[a,b]。

（2）求函数f(x)的导数f(x))，再判别它的符号，利用可导函数的一阶导数符号与函数单调关系，判断函数的单调性。（3）求函数在区间端点的函数值。（4）根据第2 步和第3 步即可得证。

例1[9] 设f(x)在[a,b]上连续，且单调递增，试证明：

xbaxf(x)dxabbf(x)dx a2分析：可将此积分不等式中的常数b变为变数x，利用差式构造辅助函数：，axxF(x)tf(t)dttf(t)dt，则要证F(b)F(a)0。

a2axaxxF(x)tf(t)dttf(t)dt，证明：设则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内aa2可导，x11bF(x)[(xa)f(x)f(t)dt][f(x)f(t)]dt，a22a因为f(x)在[a,b]上连续，且单调增加，所以g'(x)0

即g(x)在[a,b]上单调增加，因为F(a)0，所以F(b)0 所以

 所以

baxf(x)dxabbf(x)dx0 a24.1 凸函数的定义

baxf(x)dxabbf(x)dx。a24 利用凸函数的定义和性质证明不等式

x2和定义[10]:设f为定义在区间[a,b]上的函数，若对[a,b]上的任意两点x1，(0,1)，函数总有f[x1(1)x2]f(x1)(1)f(x2)，则称f为[a,b]的凸 12

函数。

4.2 定理1:设f(x)在[a,b]内存在二阶导数f(x)，且f(x)0，则f(x)在[a,b]为凸函数。

4.3 凸函数的性质

设f(x)在为凸函数，xi(a,b)，xi1,2,3,n,则f(x1)f(x2)f(xn)xx2xnf(1)，当且仅当x1x2xn时等nn号成立。

例1[2] 已知: x1、x2、、xn均为正数，求证: nx1x2xnx1x2xn。

n1，有定理1得: f(x)lnx在(0,)x2证明:设f(x)lnx，因为f(x)为凸函数，由凸函数的性质得:

lnx1lnx2lnxnx1x2xn

nnx1x2xn

n所以有 lnnx1x2xnln nx1x2xn

参考文献：

x1x2xnf

n[1] 欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传樟等，数学分析，（第三版下册），复旦大学数学系.高等教育出版社，2007.9

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