高二数学不等式的证明_高三数学不等式的证明

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高二数学不等式的证明(二)

[本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法：

1.换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。

2.放缩法：理论依据：a>b,b>ca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。

3.反证法：理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假，证明格式

[反证]：假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得 到假设不正确，原命题正确。

4.数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。

证明格式：

(1)当n=n0时，命题成立；

(2)假设当n=k时命题成立；

则当n=k+1时，证明出命题也成立。

由(1)(2)知：原命题都成立。

[本周教学例题]

一、换元法：

1.三角换元：

例1.求证：

证一：(综合法)

即：

证二：(换元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π]

则

∵-1≤sin2≤1

例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：

分析：由于条件给出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x>0，y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。

证一：

证二：由x>0,y>0，2x+y=1，可设

则

例3.若x2+y2≤1，求证：

证：设

则

例4.若x>1，y>1，求证：

证：设

则

例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：

证：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设

则

小结：若0≤x≤1，则可令

若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ

若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ

若x≥1，则可令

2.代数换元：，若xR，则可令

例6：证明：若a>0，则

证：设

则

即

∴原式成立

小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。

二、放缩法：

例7.若a,b,c,dR+，求证：

证：记

∵a,b,c,dR+

∴1

例8.当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)

证：∵n>2 ∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)

例9.求证：

证：

三.反证法

例10.设0

证：设

则三式相乘： ①

又∵0

同理：

以上三式相乘：

∴原式成立

与①矛盾

例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0

证：设a0，∴bc

又由a+b+c>0，则b+c=-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc

又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可证：b>0，c>0

四.构造法：

1.构造函数法

例12.已知x>0，求证：

证：构造函数

由

显然

∴上式>0

∴f(x)在 上单调递增，∴左边

例13.求证：

证：设

用定义法可证：f(t)在上单调递增，令：3≤t1

2.构造方程法：

例14.已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2。

证：由题设：显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a>0

则有两个实根。

例15.求证：

证：设

当y=1时，命题显然成立，当y≠1时，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0

综上所述，原式成立。(此法也称判别式法)

例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd

证一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正数

∴要证：(xy)≥ac+bd

只需证

即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即：a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，显然成立

∴xy≥ac+bd

证二：(综合法)

证三：(三角代换法)

∵x2=a2+b2，∴不妨设

y2=c2+d

2五.数学归纳法：

例17.求证：设nN，n≥2，求证：

分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。

证：当n=2时，左边，易得：左边>右边。

当n=k时，命题成立，即：成立。

当n=k+1时，左边

又

；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)；

于是可得：

即当n=k+1时，命题也成立；

综上所述，该命题对所有的自然数n≥2均成立。

[本周参考练习]

证明下列不等式：

1.提示：令，则(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情况讨论。

2.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1

提示：分

3.若x>0，y>0，x+y=1，则

提示：左边

令t=xy，则

在 上单调递减

4.已知|a|≤1，|b|≤1，求证：，提示：用三角换元。

5.设x>0，y>0，求证：a

放缩法

6.若a>b>c，则

10.左边

11.求证：高二数学不等式的应用

三.关于不等式的应用：

不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行：

1.会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；讨论方程的根的问题。

(求极值的一个基本特点：和一定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。)在使用时，要注意以下三个方面：“正数”、“定值”、“等号”出现的条件和成立的要求，其中“构造定值”的数学思想方法的应用在极值使用中有着相当重要的作用。

2.会把实际问题抽象为数学问题进而建立数学模型，培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。

3.通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的兴趣。

四、不等式的应用问题举例：

例10.已知a、b为正数，且a+b=1，求

最大值。

分析：在一定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何减少变形产生的错误也是必不可少的一个环节。

解：由可得；

小结：如果本题采用

两式相加而得：号是否取到，这是在求极值时必须坚持的一个原则。

；则出现了错误：“=”

例11.求函数的最小值。

分析：变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。

解：

即f(x)最小值为-1

此类问题是不等式求极值的基本问题；但如果再改变x的取值范围(当取子集时)，要则要借助于函数的基本性质解决问题了。

例12.若4a2+3b2=4，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。的某一个

分析：在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4拆分成与(2a2+1),(b2+2)两个式子的代数和则是本问题的关键。

解：

当且仅当：4a2+2=3b2+6，即

时取等号，y的最大值为8。

小结：此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等等。但无论使用如何种广泛，都必须注意公式中的三个运用条件(一正，二定，三等号)

例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此时的x、y的值。

分析：考查分式的最值时，往往需要把分式拆成若干项，然后变形使用平均值不等式求解。

解：∵x>y>0 ∴x-y>0

又∵x·y=1，也即：；当且仅当时取等号。

也即；时，取等号。

例14.设x，y，z∈R+，x+y+z=1，求证：的最小值。

分析：此类问题的关键是如何使用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。

2.另一个途径是直接进行1的构造与转化。但无论如何需要注意的是验证“=”号成立。本题使用1的构造代入。

解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1

当且仅当时，取“=”号，的最小值为9。

小结：本题如果采用三式类加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：

。进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=”号是否同时成立。

例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，试比较 a，b，c的大小。

分析：此问题只给出了几何简单的不等式关系，故要判断大小必须在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。

解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac

又∵a>0,∴b≥c,(当且仅当a=c时，取等号)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式变形为：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，结合：b>c可得：b>c>0

又由b>a可得：2ab>2a2，综上所述，可得：b>c>a

小结：本题中熟练掌握不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。

例16.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左，右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？

分析：如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础知识和方法解决实际问题的基本能力。

解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800

蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)

所以

当a=2b，即a=40(m),b=20(m)时，=648(m2)

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.例17.某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为

(Ⅰ)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；

(Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

分析：数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础知识，运用数学知识解决实际问题的能力都有着较高的要求。

解：(Ⅰ)依题设，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；

(Ⅱ)

因为函数上为增函数，当1≤n≤3时，当n≥4时，∴仅当n≥4时，Bn>An。

答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。

小结：如何进行数学建模最基本的一个方面就是如何把一个实际中的相关因素进行分析，通过文字说明转化为等量关系或者是相互关系，再把文字关系处理为数学关系。

五、本周参考练习

1.已知a>0 ,b>0,a+b=1，证明：

2.如果△ABC的三内角满足关系式：sin2A+sin2B=sin2C，求证：

3.已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证：

4.已知x，y是正数，a，b是正常数，且满足：，求证：

5.已知a，b，c∈R+，求证：

6.已知a>0，求的最值。(答最小值为)

7.证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

8.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积8m2，问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？

(答：当x为2.34m，y为2.828m时，用料最省。)高二数学练习三

1.xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一个充分不必要条件是（）

A.|x|

B.x

C.|x|>1

D.x

2.已知实数a，b，c满足：a+b+c=0，abc>0，则：的值（）

A.一定是正数

B.一定是负数

C.可能是0

D.无法确定

3.已知a,b,c是△ABC的三边，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0（）

A.有两个不相等的实根

B.有两个相等的实根

C.没有实数根

D.要依a，b，c的具体取值确定

4.设0

)

A.C.5.设a,bR+，则A，B的大小关系是（）

B.D.A.A≥B

B.A≤B

C.A>B

D.A

6.若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值是（）

A.B.C.D.7.设a，b，cR+，则三个数

A.都大于2

B.都小于2

（）

C.至少有一个不大于2

D.至少有一个不小于2

8.若a，bR+，满足a+b+3=ab，则

9.设a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，则的取值范围是_____的最大值为_____

10.使不等式

答案：

1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B

7.D 8.9.10.a>b>0且a-b>1

都成立的a与b的关系是_____