巧用数学归纳法证明不等式_巧用反证法证明不等式

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巧用数学归纳法证明不等式

数学归纳法是解决与正整数有关的命题的数学方法，它是通过有限个步骤的推理，证明n取无限个正整数的情形。

第一步是证明n取第一个值n0时命题成立，这步是“归纳奠基”，没有这一就失去了命题递推的基础，如：有位同学这样用数学归纳法证明2+4+6+…+2n=n2+n+1(n∈N*)证明：假设当n=k时，等式2+4+6+…+2k=k2+k+1成立，当n=k+1时，2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k2+2k+1)+(k+1)+1，所以n=k+1时命题也成立，所以对于n∈N*命题都成立。这个等式是不成立的，证明过程中没有验证n=1是命题的正确性，因此忽略了递推的基础导致出错。

第二步是在假设n=k(k≥n0)成立的基础上，证明n=k+1时命题也成立，这步是“归纳递推”，没有这一步就失去了递推的依据，如：有位同学在研究数学{(n2-5n+5)2}时，发现n=1,2,3,4时，都有an=1，由此，他得出an=1(n∈N*)。其实a5=25，这个命题也是不成立的，证明过程是不完全归纳，没有证明第二步，命题的正确性无法传递下去。

可见，数学归纳法中的两个步骤缺一不可。

利用数学归纳法不仅可以证明与正整数有关的等式问题，整除问题，平面几何问题，还可以解决不等式的证明问题。

例1 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记bn=2(log2an+1)(n∈N*)证明：对任意n∈N*，不等式b1b11b21…nn1成立 b1b2bn分析：（2）要证的不等式为

21412n1…n1，第一步容易验证，第二242n步证明证明n=k+1时命题也成立时，需要用到假设n＝k时的命题，如果只是从左边向右边推导，需要放缩技巧，不容易证明，如果利用分析法寻找不等式成立的充分条件，问题就迎刃而解了。

解：（2）由（１）及ｂ＝２知ａｎ＝２所证不等式为

ｎ－１，因此ｂｎ＝２ｎ(n∈N)

*21412n1…n1． 242n3，右式＝2，左式＞右式，所以，ｎ＝１时，命题成立． 22k12141＊

k1，…②假设ｎ＝ｋ（ｋ≥１，ｋ∈Ｎ）时结论成立，即

2k24①当ｎ＝１时，左式＝则当n=k+1时，21412k12k32k32k3…，k1242k2(k1)2(k1)2k1要证n=k+1时结论成立，只需证

2k32k1k2，2k3(k1)(k2)，22k3k1k2(k1)(k2)由基本不等式得222法一：即证所以2k32k1k2成立，所以n=k+1时，结论成立.由①②可知，n∈N*，不等式

b1b11b21…nn1成立 b1b2bn法二：即证2k32(k1)(k2)，只需证(2k3)24(k1)(k2)，即证4k2+12k+9≥4(k2+3k+2)，即证9≥8，显然成立，所以2k32k1k2成立，所以n=k+1时，结论成立.由①②可知，n∈N*，不等式

b1b11b21…nn1成立 b1b2bn

22例2 已知数列{an}中，an≥0,a1=0,an+1+an+1-1=an.求证：当n∈N时，an

②假设当n=k(k∈N)时，0≤ak

2**

222(ak+2+ak+1+1)>0

因为ak+2+ak+1+1>0，所以ak+2-ak+1>0，所以ak+2>ak+1 即当n=k+1时命题也成立.由①②可知，对于任意n∈N*，都有an