勾股定理与几何证明答案_几何证明勾股定理

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1、勾股定理与几何证明的综合问题

练习

一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高.证明：（1）CD2ADBD

（这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果）（2）

练习

二、将勾股定理应用于四边形

1、四边形ABCD的对角线为AC和BD.（1）证明：若ACBD，则AB2CD2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1的正方形各边上，其边长依次为a、b、c、d.求证：2abcd4.假设MNPQ分别将正方形ABCD的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2 ∵MNPQ都在正方形ABCD的四个边上，所以有四个直角三角形∴a²+b²+c²+d²=m1²+m2²+n1²+n2²+p1²+p2²+q1²+q2²∵m1+m2=正方形边长即为“1”（其他同理）∴a²+b²+c²+d²=m1²+(1-m1)²+n1²+(1-n1)²+p1²+(1-p1)²+q1²+(1-q1)²整理之后得到：a²+b²+c²+d²=2*(m1-1/2)²+1/2+2*(n1-1/2)²+1/2+2*(p1-1/2)²+1/2+2*(q1-1/2)²+1/2=2*[(m1-1/2)²+(n1-1/2)²+(p1-1/2)²+(q1-1/2)²] + 2m1、n1、p1、q1的长都是最大为1最小为0它们都等于1/2时值最小，都等于1时值最大那么a²+b²+c²+d²的最小值就是2，最大值就是4

222221AC21BC21CD2

ADBC；

22练习

三、勾股定理结合图形变换

1、如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，CD＝2，求△ABC的面积。

证明：

分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形，根据对称的性质可得：BE=BD=2，CF=CD=3，设AD=x，则正方形AEGF的边长是x，则BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，在直角△BCG中，根据勾股定理可得：（x-2）2+（x-3）2=52，解得：x=6；

4、已知,如图在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.求证: BC2AB2BD2

证明：连结AC, 因为AD=DC,∠ADC=60° 则△ACD是等边三角形.过B作BE⊥AB,使BE=BC, 连结CE,AE则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60° ∴△BCE是正三角形, 又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60° ∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60° ∴∠ACE=∠DCB又DC=AC,BC=CE 所以△DCB≌△ACE 所以AE=BD 在直角三角形ABE中AE2AB2BE2

即BD2AB2BC2