复变函数中的欧拉公式的证明_欧拉函数积性公式证明

复变函数中的欧拉公式的证明由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“欧拉函数积性公式证明”。

复变函数中的欧拉公式的证明

一、欧拉公式：

eiπ+1=0

eix=cosx+isinx

二、证明

a)将ex展开：

23ex=1+x+x

2!+x

3!x456784!+xxxx

5!+6!+7!+8!+···

b)将x用ix替换：

2345678

eix=1+ix··c)将cosx展开：

cosx=1-x2

2!+x4

4!x6

6!+x8

8!x10

10!+x12

12!··

d)将sinx展开：

x3x5x7x9x11

3!5!-7!+9!-11!+x13

sinx=x-13!+···e)上式等号两边同时乘i：

ix3ix5ix7ix9ix11

3!+5!-7!+9!-11!+ix13isinx=ix-13!··f)联立Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ三式得： eix=cosx+isinxⅥ g)同理可得：

e-ix=cosx-isinxⅦ h)对于Ⅵ，令x=π便可得： eiπ+1=0 i)Ⅵ、Ⅶ二式联立可得：

eix-e-ix

sinx=eix+e-ix

2icosx=2 Ⅰ Ⅲ Ⅴ Ⅱ Ⅳ