曲线积分与路径无关的问题之证明_曲线积分与路径无关

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设平面上的单连通区域G内分别以A和B两点为起点和终点的弧

有连续向量函数F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j，要使该函数的曲线积分与路径无关，就有AFB，AEB和弧AEBPdxQdyAFBPdx,于Qdy是有

即

AEBPdxQdyPdxQdy0,AFBAEBPdxQdyPdxQdy0,实际上弧AEB和弧BFABFA构成了一封闭曲线L，上式等价为

内可以取PdxQdy0L任意大小。，记L围起的区域为D，D在G用格林公式

QP()dxdyPdxQdyLxyD，因为

QPPdxQdy0，得到()dxdy0，又因为LxyD

QPQP0D可以取任意小，于是有，或者xy。这就得到了函数xy

曲面积分与路径无关的条件。