立体几何中的有关证明与综合问题_立体几何中的证明问题

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立体几何中的有关证明与综合问题

例1． 已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C'

C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°

上的射影D落在BC上。

（1）求证：AC⊥面BB’C’C。

（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。

讲解：（1）∵B’D⊥面ABC，AC面ABC，∴B’D⊥AC，又AC⊥BC，BC∩B’D=D，∴AC⊥面BB’C’C。

（2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BC=BB’。

因为B’D⊥面ABC，所以，B'BD就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。

由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时B'BD=60。

即当α=60时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。

例2． 如图：已知四棱锥PABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。

（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；（2）求二面角BDEC的平面角的正切值。

讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法C是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，DEPC，那么A

我们自然想到：是否有DE面PBC？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，∴ DE在平面ABCD内的射影就是DC。

在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴ DE⊥CB。

又PCBCC，PC,BC面PBC，∴ DE⊥面PBC。

又DE面EDB，∴ 平面EDB⊥平面PBC。

（2）由（1）的证明可知：DE⊥面PBC。所以，BEC就是二面角BDEC的平面角。∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CB⊥ DC。∴ CB⊥面PDC。又PC面PDC，∴ CB⊥PC。

在RtECB中，tanBEC

BCCE



2。

点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。

例3．如图：在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，∠BADADC

SB

，ABAD2a，CDa，E为的中点。

（1）求证：CE//平面SAD；

（2）当点E到平面SCD的距离为多少时，平面SAD所成的二面角为45？

讲解：题目中涉及到平面SBC与平面SAD角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面一方面，要证CE//平面SAD，应该设法证明SAD内的一条直线，充分利用中点（中位线）发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延长BC、AD交于点F。

在FAB中，∠BADADC



平面SBC与

所成的二面

角的棱）。另CE平行于面的性质，不难，所以，所以，所以，点

AB、CD都与AF垂直，所以，CD//AB，CD∽FBAF。CDa，又AB2a，D、C分别为线段AF、BF的中点。又因为E为SB的中点，所以，EC的中位线，所以，EC//SF。

又EC面SAD，SF面SAD，所

为SBC

以，CE//

平面SAD。SA⊥平面ABCD，（2）因为：AB平面

AB，所以，ABSA。又ABAF，AFSAA，所以，AB面SAF。过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，BHA就是平面SBC与平面SAD所成的二面角的平面角。在RtBHA中，要使BHA=45，需且只需AH=AB=2a。

此时，在SAF中，SA

SFAHAF



SA

4a2a

4a，所以，SA

3a。

在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则

ADDC

h=

SACDSASSCD



SA

ADSA2

SDCDSD

ADSASA

AD



a

因为AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB

中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即

h

2

8a。

点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。

例4．如图，已知PA面ABC，ADBC于D，BCCDAD1。

（1）令PDx，BPC，试把tan表示为x的函数，并求其最大值；

（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得

BQCBAC？

讲解（1）为寻求tan与x的关系，转化为PCDPBD。

∵ PA面ABC，ADBC于D，∴ PDBD。

∴ tanPCD

PDDC

x,tanPBD

PDBD

首先可以将



x2。

x

x2x2

xx2

∴ tantanPCDPBD∵ AD为PD在面ABD上的射影。∴ PDAD1，即x1。∴ tan

xx2。

1x



1x

2x



122



4。

即tan的最大值为

24，等号当且仅当x2时取得。

（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得

tanBQCtanBAC。

tanBACtanACDABD

3。

令tan

xx2



13，解得：1x2，与x1交集非空。

∴ 满足条件的点Q存在。

点评 本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。

例5． 如图所示：正四棱锥PABCD中，侧棱PA与底面

ABCD所成角的正切值为

62。

（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；

（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面PAD上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。

讲解：（1）连AC,BD交于点O，连PO，则PO⊥面ABCD，∴ ∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴ tan∠PAO=

B。

设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO =。

设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角。

在RtPFO中，tanPFO∴ PFO



POFO

，

。即面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为

（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，EO//∴ EOD就是异面直线PD与AE所成的角。在RtPDO中，PDOD2PO2

545

22

PD。

∴ EO。

由AOBD，AOPO可知：AO面PBD。所以，AOEO。

在RtAOE中，tanAEO

AOEO

25。

∴ 异面直线PD与AE所成的角为arctan

25。

（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面PBC的一条垂线，然后再平移到点E即可。

为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：面PFO面PBC。延长FO交BC于点G，连接PG。设H为PG中点，连接EH,GH。∵ 四棱锥PABCD为正四棱锥且F为AD中点，所以，G为BC中点，∴ BCPG，BCFG。

∴ BC面PFG。∴ 面PBC⊥面PFG。∵ PFPG，PFO

，∴ PFG为正三角形。

∴ FHPG，∴ FH面PBC。

取AF中点为K，连EK，则由HE//FK及HEFK得四边形HEKF为平行四边形，所以，KE//FH。

∴KE面PBC。

点评 开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。

1．（2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且

C1CB

=BCD=60。

（I）证明：C1C⊥BD；

（II）假定CD=2，C1C=，记面C1BD为，面CBD为，求二面角

3BD的平面角的余弦值；

CDCC

1（III）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明。

CDCC1

[答案与提示：（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）=1。

2．（2002年全国高考）如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a0a

.C

D

E

N

A

F

2；（Ⅱ）a

（Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；

（Ⅲ）当MN的长最小时，求面MNA与面成的二面角的大小。

MNB所

[答案与提示：（Ⅰ）MN

2

1a0a22



2时，MN的长最小，为

22；

1

（Ⅲ）arccos]



3

3．（2002年北京高考）如图：在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上下底面矩形的长、宽分别为c、d与a、b，且ac,bd，两底面间的距离为h。

（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；

（2）证明：EF//面ABCD

（3）在估测该多面体的体积时，经常式V估S中截面h来计算。已知它的体积公

V

h6

底

面

运用近似公

式是

S

上

4S中底S下

截面

。

试判断V估与V的大小关系，并加以证（注：与两个底面平行，且到两个底面距面称为该多面体的中截面）答案与提示：（1）arctan

2hbd

A

a

明。离相等的截

B

；（3）V估V。

4.(1997年全国高考)如图,在正方体

ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中

DC1

点.Ⅰ.证明AD⊥D1F;Ⅱ.求AE与D1F所成的角;Ⅲ.证明面AED⊥面A1FD1;

Ⅳ.设AA1＝2,求三棱锥FA1ED1的体积

[答案与提示：（2）90º；（4）VFAED=1]

A1

A

VFA1ED1