高考试题分类考点17推理与证明_推理与证明高考试题

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考点17推理与证明

1.（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察(x2)'2x，(x4)'4x3，(cosx)'sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)=（）

（A）f(x)(B)f(x)(C)g(x)(D)g(x)

【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题，解决问题的能力.【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论.【规范解答】选D．通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则其导函数g(x)是奇函数，故选D．

2.（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）观察下列等式：123,1236,123410,„„根据上述规律，第五个等式为 ____________.【命题立意】本题考查归纳推理，属送分题．

【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键．

【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下： 3323332333

32123,1236,123410,即左边底数的和等于右边的底数，故第五个等式为：

2132333435363(123456)221.333333212345621.【答案】

3.（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：

可以推测，m – n + p =.【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．

【思路点拨】根据归纳推理可得．

m12801120np11，mnp162，【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，9p10550,m2512，n400，mnp962．又

【答案】962

nn4.（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设n2,nN,(2x)(3x)a0a1xa2xanx，12132n

将ak(0kn)的最小值记为Tn，则T20,T3

其中Tn=__________________.1111,T0,T,,Tn,4523332535-1-

【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键． 【思路点拨】观察Tn的奇数项与偶数项的特点．

11T333TT0,T0T0n24nn23，【规范解答】观察表达式的特点可以看出，„„当为偶数时，；

T5

1111

Tnn55n23，„„当n为奇数时，23．

【答案】

5.（2010·北京高考文科·Ｔ20）

已知集合Sn{XX(x1,x2,,xn),xi{0,1},i1,2,,n}(n2)，对于A

(a1,a2,...,an)，定义A与B的差为A，ABBa(||,…b(|b|,||,|a2ab|,…|a|nanbn|);1a1b2bn|);

A与B之间的距离为d(A,B)

a

i1

n

i

bi.（1）当n=5时，设A(0,1,0,0,1),B(1,1,1,0,0)，求AB，d(A,B).（2）证明：A,B,CSn,有ABSn，且d(AC,BC)d(A,B).（3）证明：A,B,CSn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力.本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求.要求教师真正重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”“创新能力”的培养． 【思路点拨】（1）（2）直接按定义求解证明即可.(3)“至少”问题可采用反证法证明． 【规范解答】（1）

AB(01,1,01,00,0)

＝3.＝（1,0,1,0,1），d(A,B)01101000

(2)设

A(a1,a2,,an),B(b1,b2,,bn),C(c1,c2,,cn)Sn，所以

biai(i1,2,,n)

中1的个数为k,ciai(i1,2,,n)

中1的个数为l，设t是使

biaiciai1

成立的i的个数，则hlk2t，由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数．

6.（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合Sn{XX(x1,x2,,xn),xi{0,1},i1,2,,n}(n2)，对于A(a1,a2,...,an)，A与B之间的距离为d(A,B)

定义A与B的差为

a

i1

n

i

bi.（1）证明：A,B,CSn,有ABSn，且d(AC,BC)d(A,B).（2）证明：A,B,CSn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.(3)设PSn，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d(P).证明：（P）≤

mn

.2(m1)

【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识．本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求．要求教师真正重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”“创新能力”的培养．

【思路点拨】（1）直接按定义证明即可．（2）“至少”问题可采用反证法证明．(3)把来，再利用基本不等式证明． 【规范解答】（1）设因为从而

A,BP

d(A,B)表示出

A(a1,a2,...,an)，B(b1,b2,...,bn)，C(c1,c2,...,cn)Sn，所以

ai，bi0,1|aibi|0,1(i1,2,...,n)，AB(|a1b1|,|a2b2|,...,|anbn|)Sn

n

又

d(AC,BC)||aici||bici||

i

1,由题意知当当

ai，bi，ci0,1(i1,2,...,n)

.;,ci0ci1

时，||aici||bici|||aibi|

时，||aici||bici|||(1ai)(1bi)||aibi|

n

所以(2)设

d(AC,BC)|aibi|d(A,B)

i1

.,A(a1,a2,...,an)，B(b1,b2,...,bn)，C(c1,c2,...,cn)Sn

d(A,B)k，d(A,C)l，d(B,C)h.记

O(0,0,...,0)Sn，由（1）可知,d(A,B)d(O,BA)k，d(A,C)d(O,CA)l,d(B,C)d(BA,CA)h,所以

|biai|(i1,2,...,n)

中1的个数为k，|ciai|(i1,2,...,n)

中1的个数为l．

设t是使

|biai||ciai|1

成立的i的个数，则hlk2t,由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数．

d(P)

（3）

12Cm

A,BP



d(A,B),其中A,BP

d(A,B)

t

表示P中所有两个元素间距离的总和，设P中所有元素的第i个位置的数字中共有i个1，mti个0,则

A,BP

d(A,B)t(mt)

i

i

n

＝

i1,m2(i1,2,...,n)t(mt)ii4由于,nmd(A,B)

4, 所以A,BP

d(P)

2Cm

从而nmmn

d(A,B)2

4Cm2(m1).A,BP

【方法技巧】（1）证明“至少有一个„„”时，一般采用反证法．

（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式．

7.（2010·江苏高考·Ｔ23）已知△ABC的三边长都是有理数，（1）求证：cosA是有理数.（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数.【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA，由三边a,b,c是有理数，求得结论.（2）可利用数学归纳法证明.b2c2a

2【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为a,b,c，cosA，∵a,b,c是有理数，2bcb2c2a2是有理数，分母2bc为有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，b2c2a2∴必为有理数，∴cosA是有理数.2bc

（2）①当n1时，显然cosA是有理数；

当n2时，∵cos2A2cos2A1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数.②假设当nk(k2)时，结论成立，即coskA、cos(k1)A均是有理数，当nk1时，cos(k1)AcoskAcosAsinkAsinA，cos(k1)AcoskAcosA[cos(kAA)cos(kAA)]，21

1cos(k1)AcoskAcosAcos(k1)Acos(k1)A，2

2解得：cos(k1)A2coskAcosAcos(k1)A，∵cosA，coskA，cos(k1)A均是有理数，∴2coskAcosAcos(k1)A是有理数，∴cos(k1)A是有理数，即当nk1时，结论成立.综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数.方法二：（1）由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知，AB2AC2BC2

是有理数.cosA

2ABAC

（2）用数学归纳法证明cosnA和sinAsinnA都是有理数，①当n1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinAsinA1cos2A也是有理数.②假设当nk(k1)时，coskA和sinAsinkA都是有理数.当nk1时，由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，由①和归纳假设，知cos(k1)A和sinAsin(k1)A都是有理数，即当nk1时，结论成立.综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数.