中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第15讲 立体几何中的有关证明_高考数学特级教师

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数学高考综合能力题选讲1

5立体几何中的有关证明

100080北京中国人民大学附中梁丽平

题型预测

立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。三垂线定理及其逆定理是重点考查的内容。

范例选讲

例1． 已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是C'

直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角

为α（0°

在BC上。

（1）求证：AC⊥面BB’C’C。

（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D

恰为BC的中点。

讲解：（1）∵B’D⊥面ABC，AC面ABC，∴B’D⊥AC，又AC⊥BC，BC∩B’D=D，∴AC⊥面BB’C’C。

（2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BC=BB’。

因为B’D⊥面ABC，所以，B'BD就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时B'BD=60。即当α=60时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。

例2． 如图：已知四棱锥PABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角

形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中

点。

（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；

（2）求二面角BDEC的平面角的正切值。C

讲解：（1）要证两个平面互相垂直，A

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常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。

首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，DEPC，那么我们自然想到：是否有DE面PBC？这样的想法一经产生，证

明它并不是一件困难的事情。∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，∴ DE在平面ABCD内的射影就是DC。在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴ DE⊥CB。

又PCBCC，PC,BC面PBC，∴ DE⊥面PBC。又DE面EDB，∴ 平面EDB⊥平面PBC。

（2）由（1）的证明可知：DE⊥面PBC。所以，BEC就是二面角BDEC的平面角。∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CB⊥ DC。∴ CB⊥面PDC。又PC面PDC，∴ CB⊥PC。

在RtECB中，tanBEC

BCCE



2。

点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。

例3．如图：在四棱锥SABCD中，SA⊥

D∠BADADC平面ABC，ABAD2a

，CDa，E为SB的中点。

（1）求证：CE//平面SAD；（2）当点E到平面SCD的距离为多少时，平面SBC与平面SAD所成的二面角为45？

讲解：题目中涉及到平面SBC与平面SAD所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证CE//平面SAD，应该设法证明CE平行于面SAD内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。

（1）延长BC、AD交于点F。在FAB中，∠BADADC

，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD//AB，所以，CDF∽BAF。又AB2a，CDa，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。又因为E为SB的中点，所以，EC为SBC的中位线，所以，EC//SF。

又EC面SAD，SF面SAD，所

以，CE//平面SAD。

SA⊥平面ABCD，（2）因为：AB平面ABCD，所以，ABSA。又ABAF，AFSAA，所以，AB面SAF。过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，BHA就是平面SBC与平面SAD所成的二面角的平面角。在RtBHA中，要使BHA=45，需且只需AH=AB=2a。

此时，在SAF中，SA

SFAHAF



SA

4a2a

4a，所以，SA

3a。

在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则

ADDC

h=

SACDSASSCD



SDCD

SA



ADSASD



ADSASA

AD



a

因为AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即

h2

8。

点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。

高考真题

1．（2002年北京高考）如图：在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上下底面矩形的长、宽分别为c、d与a、b，且ac,bd，两底面间的距离为h。

（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；

（2）证明：EF//面ABCD

（3）在估测该多面体的体积时，经常

运用近似公式V估S中截面h来计算。已知它

V

h6的体积公式是

S

上底面

4S中截面S下底面

。

试判断V估与V的大小关系，并加以证

a

AB

明。

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

2.(1997年全国高考)如图,在正方体

ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中

DA1

C1

点.Ⅰ.证明AD⊥D1F;Ⅱ.求AE与D1F所成的角;Ⅲ.证明面AED⊥面A1FD1;

Ⅳ.设AA1＝2,求三棱锥FA1ED1的体积

A

VFA1ED1

arctan[答案与提示：1.（1）

2hbd

VFAED=1。V估V。；（3）2.（2）90º；（4）]

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