存在与唯一性定理的证明_解的存在唯一性定理

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Picard存在与唯一性定理的证明

定义：设函数f(x,y)在闭区域上有定义，如果存在常数L0，使对任何(x,y1),(x,y2)均满足不等式f(x,y1)f(x,y2)Ly1y2，则称f(x,y)在上关于y满足Lipschitz条件，称L为

Lipschitz常数

Picard定理：设f(x,y)在闭矩形域：xx0a,yy0b上连续，且关于y满足Lipschitz条

dy

f(x,y)

件，则初值问题dx·········①

y(x0)y0

在区间Ix0h,x0h上有且只有一个解，其中hmin(a,证明：整个证明过程分成如下五个部分

x

b),Mf(x,y)M(x,y)Ⅰ，首先证明求初值①的解等价于求积分方程yy0

x0

·········②的连续解。f(x,y)dx,xI·

d((x))

f(x,(x))

事实上，若y(x)(xI)是初值问题①的解，则有dx,xI

(x0)y0

由此，f(x,(x))在I上连续，从而可积，于是对恒等式

x

d((x))

f(x,(x)),xI积分并利用初始条件，dx

得到(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI即，y(x)(xI)是积分方程②的解

x

反之，设y(x)(xI)是方程②的连续解，即有恒等式(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI

x

因为f(x,(x))在I上连续，故(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI右端是积分上限xI的可微函数，从而

(x)在I可微

x

于是将(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI两边对x求导，得恒等式

d((x))

f(x,(x)),xI，并令xx0得y(x0)y0，因此 dx

y(x)(xI)是初值问题①的解

因此，我们只需证明积分方程②存在唯一定义在区间Ix0h,x0h上的连续解。我们采用Picard的逐次逼近法来证明，基本思路就是在所设条件下构造出一个一致收敛的连续函数序列，它的极限函数恰是积分方程②的唯一解

Ⅱ，用逐次迭代法在区间I上构造逐次近似的连续函数序列

x



yn1(x)y0f(x,yn(x))dx

·········③ ,xI·x0



y0(x)y0

当n0时，注意到f(x,y0(x))是I上的连续函数，所以由③知

x

y1(x)y0f(x,y0(x)),(xI)在I

x0

上是连续可微的，而且满足不等式

x

y1(x)y0

x0



f(x,y0(x))Mxx0于是在区间I上y1(x)y0Mhb

因此，f(x,y1(x))在I上是连续的，所以由式③知

x

y2(x)y0f(x,y1(x)),(xI)

x0

在区间I上是连续可微的，而且满足

x

y2(x)y0

x0



f(x,y1(x))dxMxx0于是在区间I上y2(x)y0Mhb

以此类推，应用数学归纳法易证： 由③式给出的所谓Picard序列

yn(x)

是区间I上的连续函数序列，而且满足不等式

yn(x)y0Mxx0Mhb,n0,1,....Ⅲ，证明Picard序列yn(x)在区间I上一致收敛

考虑级数

y0y1(x)y0...yn(x)yn1(x)...··········④它的部分和为

y0yk(x)yk1(x)yn(x)，于是，要证明序列yn(x)在区间I上一致收敛，只需证明级数④在I

k1

n

上一致收敛。为此我们归纳证明不等式：

yn1(x)yn(x)ML

n

xx0

n1

(n1)

(n0,1,...)·······⑤在I上成立事实上，当n0时由

x

y1(x)

x0

f(x,0y(x))dx

k1

知式M0xx⑤成立，假设当nk时⑤式成立，即有

yk1(x)yk(x)ML

k

xx0

(k1)

x

(k0,1,...)在I上成立

则由式③知yk2(x)yk1(x)

x0

[f(x,y

k1

(x))f(x,yk(x))]dx根据Lipschitz条件和归纳假设得

x

yk2(x)yk1(x)

x

x0

Ly

k1

(x)yk(x)dx

xx0

k2

MLk1

x0



xx0

k1

(k1)

dxMLk1

(k2)

即当nk1时式⑤也成立，因此有数学归纳法知式⑤得证

hn1

(n0,1,...)因当xI时，xx0h，故由式⑤知yn1(x)yn(x)ML

(n1)

n

hn1

因正项级数ML收敛，故由函数项级数一致收敛的Weierstra（魏尔斯特拉斯）判别法知级数

(n1)n0



n

④在区间I上一致收敛从而Picard序列yn(x)在区间I上一致收敛 设其极限函数为(x)，即当xI时一致的有limyn(x)(x)

n

则y(x)在I上是连续的且由yn(x)y0b推知(x)y0b,xI Ⅳ，证明y(x),(xI)是积分方程②的解

x

在式③两端令n得到(x)y0lim

n

x0

f(s,y(s))ds

n

x

x

因此问题归结为证明lim

n

x0

f(s,y(s))dsf(s,(s))ds

n

x0

因Picard序列yn(x)在I上一致收敛，则任给0，存在自然数NN()，当nN时，对I中所



Lh

故当xI时，由Lipschitz条件知

有x有yn(x)(x)

x

n

x

x0

f(s,y(s))dsf(x,(x))ds

x0

xx0x





f(s,yn(s))f(s,(x))ds



x0x

Ly(s)(s)ds

n



x0

L

dsLh



xx0hhh

x

x

n

因此式lim

n

x0

f(s,y(s))dsf(s,(s))ds成立

x0

x

因而当xI时有(x)y0

x0

f(s,(s))ds，所以y(x),(xI)是积分方程②的一个连续解

Ⅴ，证明积分方程②的连续解的唯一性

x

设y(x)也是方程②的定义在区间I上的连续解，则(x)y0

x0

f(x,(x))dx,xI于是与步骤Ⅲ类

hn1

(n0,1,...)在I上成立 似，可归纳证明得yn(x)(x)ML

(n1)

n

从而Picard序列yn(x)在区间I上也一致收敛与(x)，因此我们推出(x)(x),xI 所以，积分方程②的连续解是唯一的。至此，定理得证。【注】定理中数hmin{a,b的几何意义 M

dy

f(x,y)的积分曲线上任一点的切线斜率介于Mdx

与M之间。过点p(x0,y0)分别引斜率为M与M的直线B1C和BC1：

因为在闭矩形域上有f(x,y)M，所以方程

yy0M(xx0),yy0M(xx0)，当M

显然方程

bb

时，如图㈠所示；当M时，如图㈡所示 aa

dy

f(x,y)过点p(x0,y0)的积分曲线y(x)(如果存在的话)不可能进入图㈠或㈡所示的两dx

bb

(即a)由图㈠可见解y(x)在整个区间xa,xa上有定义；若

Ma

个阴影区域内。若M

M

bb

(即a)由㈡可见，不能保证解y(x)在xa,xa上有定义。它可能在Ma

xx1(x0x1x0a)或xx2(x0ax2x0)外到达的上边界yy0b或下边界yy0b，于

是，当xx1或xx2时，y(x)没有定义。此时，由于点B1,C1,B,C的横坐标分别为x0

b

及M

x0

bbbb，故可保证解y(x)在区间x0,x0上有定义。综上，只要取hmin{a,，则MMMM

当xx0h时，有(x)(x0)(x)y0Mxx0Mhb，即当xI[x0h,x0h]时，积分曲线y(x)不会跃出闭矩形域