三角函数与不等式证明(教师)_三角函数公式及证明

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辽宁卷（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinBsinC的最大值.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a,b,c均为正数，证明：a2b2c2(等号成立。

1a1b1c并确定a,b,c为何值时，)63，2全国卷

(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效)．．．．．．．．．．．．已知VABC的内角A，B及其对边ab，满abacotAbcotB，求内角C． 安徽卷

16、（本小题满分12分）

设ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且

sinAsin(2

3B)sin(

3B) sinB。

2(Ⅰ)求角A的值；

(Ⅱ)

若ABAC12,ab,c（其中bc）。北京卷（15）（本小题共13分）

2已知函数f(x)2cos2xsinx4cosx。（Ⅰ）求f(

3)的值；

（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值。

（15）当cosx1时，f(x)取最大值6；当cosx2

3时，f(x)取最小值7

3天津卷（17）（本小题满分12分）

2已知函数f(x)xcosx2cosx1(xR)

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间0,

上的最大值和最小值； 2

（Ⅱ）若f(x0)

,x0,，求cos2x0的值。5426

（1）解：由f(x)xcosx2cos2x1，得

f(x)

sinxcosx)(2cosx1)

2xcos2x2sin(2x



6)

所以函数f(x)的最小正周期为



因为f(x)2sin2x



6

在区间0,





6

上为增函数，在区间



上为减函数，又

6,2



f(0)1,f2,f1，所以函数f(x)在区间0,上的最大值为2，最小值

622

为-1

（Ⅱ）解：由（1）可知f(x0)2sin2x0



5





6

又因为f(x0)，所以sin2x0







65

27

由x0,，得2x0,63642

4从而cos2x0

65所以



cos2x0cos2x0cos2x0

666



cossin2x0

663

sin

610

重庆卷（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）

设函数f(x)cos(x

3)2cos

x2,xR.（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若

f(B)1,b1,c3，求a的值.解：（Ⅰ）f(x)cosxcos

3sinxsin

3232

cosx

1cosxsinxcosx1



cosx

sinx1

sin(x)1，因此f(x)的值域为[0,2].56

（Ⅱ）由f(B)1得sin(B

故B



6)11，即sin(B

)0，又因0B，.江苏卷

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，tanCtanA

tanCtanB

baab

6cosC，则。

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC

1tanb

ab

tanCtanA

tanCtanB

13，tan

C2



1cosC1

cosC



12，tan

C2

，tanAtanB

C2

= 4。



a

6cosC6abcosCab，6ab

abc

2ab

222

ab,ab

2222

3c2

tanCtanA



tanCtanB



sinCcosC



cosBsinAsinBcosA

sinAsinB1

c

sinCsin(AB)1sinC



cosCsinAsinBcosCsinAsinB

c

由正弦定理，得：上式=

4 2

1213ccosCab2(ab)662

c