证明不等式的基本方法一_不等式证明的基本方法

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证明不等式的基本方法一

------比较法

教学目的：

以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用教学重点：比较法的应用

教学难点：常见解题技巧

一、复习引入：

两实数的大小关系。

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．例如，在图6一1中，点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么ab． 我们再看图6一1，ab表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：

若ab，则ab是正数；逆命题也正确．

类似地，若ab，则ab是负数；若ab，则ab0；它们的逆命题都正确.这就是说：

abab0； b a abab0； A B abab0． 图6—

1由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.二、讲解新课：

思考一：

3322已知a,b是正数，且ab，求证：ababab

尝试：作差比较，作差——变形——定符号

证明：∵(ab)(abab)=a2(ab)b2(ab)

=(ab)(ab)=(ab)(ab)

2∵a,b是正数，且ab,∴ab0,(ab)>0

3322∴(ab)(abab)>0,∴ababab 3322332222

2注：比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法

比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

例2（P21例）如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为

时糖的质量分数增加到a，若上述溶液中添加mkg白糖，此bam，将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。bm

ama 此即：已知a, b, m都是正数，并且a

分析：这是一道分式不等式的证明题，依比较法证题步骤先将其作差，然后通分，由分子、分母的值的符

证明：amab(am)a(bm)m(ba)bmbb(bm)b(bm)

∵a,b,m都是正数，并且a 0 ,b  a > 0 ∴amam(ba) 0即bmbb(bm)

思考：若a > b，结果会怎样？若没有“a

222证明：在⊿ABC中cab2abcosC，S1absinC

2c2a2b24ab4S2abcosC4ab23absinC所以134ab(1cosCsinC)4ab[1C)]226

由于a，b∈（0，+∞）又sin(C)1 6

222则4ab[1sin(C)]0即cab4ab43S 6

abab2思考二： 例4．设a, b  R+，求证：ab(ab)

方法2：作商法abba

a1b 理论根据： aab,b01bab0

操作方法：“作商——变形——判断商式大于1或小于1”

证明：（作商）aabb

(ab)ab

2aab2bba2a()bab2

a当a = b时，()bab2

1aba0,()2bab2a当a > b > 0时，1,b1

ab

2a当b > a > 0时，01,b

∴ab(ab)abab2aba0,()2b1（其余部分略）

注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

三、练习

1．求证：x2 + 3 > 3x

证明：∵(x2 + 3) 3x = x3x()()3(x)

∴x2 + 3 > 3x

2． 已知a, b都是正数，并且a  b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 232232232230

4证明：(a5 + b5)(a2b3 + a3b2)=(a5  a3b2)+(b5  a2b3)

= a3(a2  b2) b3(a2  b2)=(a2  b2)(a3  b3)

=(a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵a  b，∴(a  b)2 > 0∴(a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2)> 0

即a5 + b5 > a2b3 + a3b

23．例4后半题

四、小结 ：我们一起学习了证明不等式的最基本、最重要的方法：比较法，1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

五、作业

P23习题2。11、2、3、4